問題1：全体集合$U$とその部分集合$A, B, C$が与えられたとき、集合演算（和集合、共通部分、補集合）の結果を求める。 問題2：$x, y$が実数のとき、条件の必要条件・十分条件を判定する。 問題3：整数$n$について、$n^2$が3の倍数ならば、$n$は3の倍数であることを証明する。 問題4：有理数$a, b$について、$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、与えられた命題を証明する、または$a, b$の値を求める。 問題5：命題$p \implies q$が真であるとき、$P, Q$について常に成り立つものを選択する。

はい、承知いたしました。それでは、問題文に沿って各問題の解答と解説を記述します。

1. 問題の内容

問題1：全体集合$U$とその部分集合$A, B, C$が与えられたとき、集合演算（和集合、共通部分、補集合）の結果を求める。

問題2：$x, y$が実数のとき、条件の必要条件・十分条件を判定する。

問題3：整数$n$について、$n^2$が3の倍数ならば、$n$は3の倍数であることを証明する。

問題4：有理数$a, b$について、$\sqrt{2}$が無理数であることを利用して、与えられた命題を証明する、または$a, b$の値を求める。

問題5：命題$p \implies q$が真であるとき、$P, Q$について常に成り立つものを選択する。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) $A \cup B$：$A$と$B$の要素をすべて集めた集合。

(2) $\overline{A} \cup B$：$A$の補集合と$B$の和集合。まず$\overline{A}$を求め、その後和集合を求める。$\overline{A} = U - A$

(3) $A \cap B$：$A$と$B$の共通部分。

(4) $A \cap B \cap C$：$A, B, C$すべての共通部分。

(5) $A \cup B \cup C$：$A, B, C$すべての和集合。

(6) $A \cap B \cap \overline{C}$：$A, B$の共通部分と$C$の補集合の共通部分。まず$\overline{C}$を求め、その後共通部分を求める。$\overline{C} = U - C$

問題2：

(1) 二等辺三角形であることは正三角形であるための何条件か？

正三角形ならば必ず二等辺三角形だが、二等辺三角形でも正三角形とは限らない。したがって、必要条件である。

(2) $x = y$は、$x^2 + y^2 = 2xy$であるための何条件か？

$x = y$ならば、$x^2 + y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 = 2x \cdot x = 2xy$。

また、$x^2 + y^2 = 2xy$ならば、$x^2 - 2xy + y^2 = 0$より、$(x - y)^2 = 0$。よって、$x = y$。

したがって、必要十分条件である。

(3) $x + y > 2$は、「$x > 1$または$y > 1$」であるための何条件か？

$x = 0, y = 3$のとき、$x + y > 2$だが、$x > 1$でも$y > 1$でもない。したがって十分条件ではない。

$x > 1$または$y > 1$ならば、$x + y > 2$とは限らない。$x = 2, y=0$ ならば、$x>1$だが、$x+y = 2$。必要条件でもない。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。

問題3：

$n^2$が3の倍数ならば、$n$は3の倍数であることを証明する。対偶を証明する。

$n$が3の倍数でないと仮定する。このとき、$n = 3k + 1$または$n = 3k + 2$（$k$は整数）。

$n = 3k + 1$のとき、$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$。

$n = 3k + 2$のとき、$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$。

いずれの場合も、$n^2$は3の倍数ではない。したがって、対偶が真なので、元の命題も真である。

問題4：

(1) $a + b\sqrt{2} = 0 \implies a = b = 0$を証明する。

$b \neq 0$と仮定すると、$b\sqrt{2} = -a$。したがって、$\sqrt{2} = -\frac{a}{b}$。$a, b$が有理数なので、$-\frac{a}{b}$も有理数となり、$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾する。したがって、$b = 0$。

$b = 0$のとき、$a + 0\sqrt{2} = a = 0$。よって、$a = b = 0$。

(2) $a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2}$を満たす有理数$a, b$の値を求めよ。

$(a + 1) + (b - 3)\sqrt{2} = 0$。

(1)の結果より、$a + 1 = 0$かつ$b - 3 = 0$。したがって、$a = -1, b = 3$。

問題5：

命題$p \implies q$が真であるとき、$P \subset Q$が成り立つ。

したがって、選択肢の中から$P \subset Q$を選べば良い。

また、$P \cap Q = P$が成り立つ。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) ${2, 3, 5, 6, 7, 8}$

(2) ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 9}$

(3) ${5}$

(4) ${5}$

(5) ${2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}$

(6) ${6}$

問題2：

(1) 必要条件

(2) 必要十分条件

(3) 必要条件でも十分条件でもない

問題3：

（証明は上記参照）

問題4：

(1) （証明は上記参照）

(2) $a = -1, b = 3$

問題5：

② $P \subset Q$

⑥ $P \cap Q = P$