問題6：$x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$

はい、承知いたしました。問題文をOCRで読み取り、指示に従って回答します。

1. 問題の内容

問題6：$x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算

$x$ と $y$ の和を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

通分して計算します。

$x+y = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$

分子を展開します。

$x+y = \frac{(7 - 2\sqrt{21} + 3) + (7 + 2\sqrt{21} + 3)}{7 - 3}$

$x+y = \frac{10 - 2\sqrt{21} + 10 + 2\sqrt{21}}{4}$

$x+y = \frac{20}{4} = 5$

(2) $xy$ の計算

$x$ と $y$ の積を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

$xy = 1$

(3) $x^2+y^2$ の計算

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ の関係を使います。

$x^2+y^2 = (5)^2 - 2(1)$

$x^2+y^2 = 25 - 2 = 23$

(4) $x^3+y^3$ の計算

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ の関係を使います。

$x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$x^3+y^3 = (5)(5^2 - 3(1))$

$x^3+y^3 = 5(25 - 3)$

$x^3+y^3 = 5(22) = 110$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 5$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 23$

(4) $x^3+y^3 = 110$