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与えられた式 $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式二次式平方完成
2025/4/29

1. 問題の内容

与えられた式 x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 に x2x^2 を足して引き、平方完成の形を作ります。
x4+x2+1=x4+2x2+1−x2x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2
(x2+1)2−x2(x^2 + 1)^2 - x^2 となります。
これは A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) の因数分解の公式が使えます。A=x2+1A = x^2+1、B=xB = x と考えると、
(x2+1)2−x2=(x2+1+x)(x2+1−x)(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)
整理すると、
(x2+x+1)(x2−x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)

3. 最終的な答え

(x2+x+1)(x2−x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)

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