与えられた式 $3x^2 - 2z^2 + 4yz + 2xy + 5xz$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - 2z^2 + 4yz + 2xy + 5xz$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$3x^2 + (2y + 5z)x + (4yz - 2z^2)$

次に、定数項の $4yz - 2z^2$ を因数分解します。

$4yz - 2z^2 = 2z(2y - z)$

ここで、$3x^2 + (2y + 5z)x + 2z(2y - z)$ が $(ax+bz)(cx+dz)$ の形に因数分解できると仮定します。

すると、$ac = 3$, $bd = 2$, $ad+bc = 2y+5z$ となります。

$a = 3$, $c = 1$ とすると、$3d+b = 2y+5z$ となります。

$d=2y-z$, $b=2z$ とすると、$3(2y-z)+2z=6y-3z+2z=6y-z$となり、$2y+5z$と一致しません。

そこで、$4yz - 2z^2 = -2z(z-2y)$と考えて、$(3x + az)(x + bz)$の形を考えます。

すると、因数分解の候補は $(3x-z)(x+2z)$か$(3x+2z)(x-z)$となります。

$(3x-z)(x+2z) = 3x^2+6xz-xz-2z^2 = 3x^2+5xz-2z^2$ となり $2xy+4yz$ がありません。

$(3x-2z)(x+z) = 3x^2 + 3xz - 2xz - 2z^2 = 3x^2+xz-2z^2$ となり $2xy+4yz+4xz$ がありません。

$(3x+2y-z)(x-z)$のパターンも考えられます。

$(3x+2y+az)(x+bz)$

$(3x+z)(x-2z)$

与えられた式を $z$ について整理すると、

$-2z^2 + (5x+4y)z + 3x^2 + 2xy$

$3x^2 + (2y+5z)x -2z^2 + 4yz$ を変形して

$3x^2 + 2xy + 5xz - 2z^2 + 4yz$

$3x^2 + 2xy + 5xz + (4yz - 2z^2)$

$3x^2 + 2xy + 5xz + 2z(2y - z)$

式をよく見ると、$3x^2 + 2xy + 5xz - 2z^2 + 4yz = (3x - z + 2y)(x + 2z)$ が成り立ちます。

$(3x-z+2y)(x+2z)=3x^2 +6xz-xz-2z^2+2xy+4yz=3x^2 +5xz +2xy +4yz-2z^2$

$(3x+2y-z)(x+2z)$

3. 最終的な答え

$(3x + 2y - z)(x + 2z)$