$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + bc(b+c)$

## 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

(2) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

## 解き方の手順

**(1) $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$**

1. $a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + bc(b+c)$

2. $a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$ となります。

$b^2+c^2+2bc$を$(b+c)^2$に変形しました。

3. 共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

4. かっこの中身を因数分解します。

$(b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c)$

5. 順番を並び替えます。

$(a+b)(b+c)(c+a)$

**(2) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$**

1. 式を展開します。

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2$

2. $a$ について整理します。

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

3. $(b-c)$でくくることを考え、$b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$, $b^2c - bc^2 = bc(b-c)$ と変形します。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

4. 共通因数 $(b-c)$ でくくります。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

5. かっこの中身を因数分解します。

$(b-c)(a-b)(a-c)$

6. 符号を調整します（好みによります）。

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

## 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$ または $(a-b)(b-c)(c-a)$