与えられた3つの式を因数分解します。 (1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$ (2) $(x+1)^3 - 8$ (3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解します。

(1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$

(2) $(x+1)^3 - 8$

(3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$

この式は、二乗の差の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して因数分解できます。

$A = x^2 - 4xy$ と $B = 4y^2$ と置くと、

$(x^2 - 4xy)^2 - (4y^2)^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 - 4xy - 4y^2)$

ここで、

$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2$

$x^2 - 4xy - 4y^2$ は因数分解できません。

したがって、

$(x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 - 4xy - 4y^2) = (x-2y)^2(x^2 - 4xy - 4y^2)$

(2) $(x+1)^3 - 8$

この式は、三乗の差の形 $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ を利用して因数分解できます。

$A = x+1$ と $B = 2$ と置くと、

$(x+1)^3 - 2^3 = (x+1-2)((x+1)^2 + 2(x+1) + 2^2)$

$= (x-1)(x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4)$

$= (x-1)(x^2 + 4x + 7)$

(3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

この式も、三乗の差の形 $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ を利用して因数分解できます。

$A = a+b$ と $B = a-c$ と置くと、

$(a+b)^3 - (a-c)^3 = (a+b - (a-c))((a+b)^2 + (a+b)(a-c) + (a-c)^2)$

$= (a+b-a+c)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - ac + ab - bc + a^2 - 2ac + c^2)$

$= (b+c)(3a^2 + 3ab - 3ac + b^2 - bc + c^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2y)^2(x^2 - 4xy - 4y^2)$

(2) $(x-1)(x^2 + 4x + 7)$

(3) $(b+c)(3a^2 + 3ab - 3ac + b^2 - bc + c^2)$