与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $(x+1)^2 - (x+1) - 2$ (2) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$ (3) $(x+y-1)(x+y+3) - 5$ (4) $x^2 + xy + 2x + y + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $(x+1)^2 - (x+1) - 2$

(2) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

(3) $(x+y-1)(x+y+3) - 5$

(4) $x^2 + xy + 2x + y + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x+1 = A$ とおくと、与式は $A^2 - A - 2$ となります。

これを因数分解すると、$(A-2)(A+1)$ となります。

$A$ を $x+1$ に戻すと、$(x+1-2)(x+1+1) = (x-1)(x+2)$ となります。

(2) $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ なので、与式は $(a+b)^2 - c^2$ となります。

これは二乗の差なので、$(a+b+c)(a+b-c)$ と因数分解できます。

(3) $x+y = A$ とおくと、与式は $(A-1)(A+3) - 5$ となります。

展開すると $A^2 + 3A - A - 3 - 5 = A^2 + 2A - 8$ となります。

これを因数分解すると、$(A+4)(A-2)$ となります。

$A$ を $x+y$ に戻すと、$(x+y+4)(x+y-2)$ となります。

(4) $x^2 + xy + 2x + y + 1 = x^2 + (y+2)x + (y+1)$ と見ます。

$y+1$ を $1 \times (y+1)$ と考えると、和が $y+2$ になるので、

$(x+1)(x+y+1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+2)$

(2) $(a+b+c)(a+b-c)$

(3) $(x+y+4)(x+y-2)$

(4) $(x+1)(x+y+1)$