与えられた式を因数分解する問題です。 (1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ (2) $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

(2) $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc$

次に、$a$について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c)$

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$(b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

$(b+c)(a^2 + ba + ca + bc)$

$(b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

(2)

まず、$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を展開します。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

この式は交代式であるため、$(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$ を因数に持ちます。

したがって、$(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数として持つことが予想されます。

与式の次数は4次であり、$(a-b)(b-c)(c-a)$の次数は3次であるから、もう一つの因数は1次式である必要があります。

$k(a-b)(b-c)(c-a)$とおいて、kを求めます。

$a^3b$の項に着目すると、元の式では$a^3b$の係数は1であり、

$k(a-b)(b-c)(c-a)$を展開すると、$ka^3b$となります。

したがって、$k = -1$であることがわかります。

$- (a-b)(b-c)(c-a) = -(a-b)(bc-ba-c^2+ca) = -(abc-a^2b-ac^2+a^2c-b^2c+ab^2+bc^2-abc) = a^2b-a^2c -ab^2 + b^2c -bc^2 +ac^2$.

これを元の式と比較してみると、符号が異なることがわかります。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$