与えられた式 $x^4 + 4y^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 4y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、Sophie Germainの恒等式を利用して因数分解できます。

まず、与えられた式に $4x^2y^2$ を足して引きます。これにより、

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$

と変形できます。

$x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4$ は $(x^2+2y^2)^2$ となります。

したがって、

$x^4 + 4y^4 = (x^2+2y^2)^2 - (2xy)^2$

となります。

これは二乗の差の形なので、

$(x^2+2y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)$

と因数分解できます。

通常、項の順番を入れ替えて整理します。

$x^4 + 4y^4 = (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$