与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (5y - 2)x + (6y^2 - 7y - 3)$

次に、定数項 $(6y^2 - 7y - 3)$ を因数分解します。

$6y^2 - 7y - 3 = (2y - 3)(3y + 1)$

よって、$x^2 + (5y - 2)x + (2y - 3)(3y + 1)$ となります。

次に、たすき掛けを用いて因数分解できるか試します。

$x^2 + (5y - 2)x + (2y - 3)(3y + 1) = (x + ay + b)(x + cy + d)$

とおくと、

$ac = 6$, $ad + bc = -7$, $bd = -3$, $a + c = 5$, $b + d = -2$

となるように、$a,b,c,d$ を定めます。

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$ とおくと、

$x^2 + 3xy + x + 2xy + 6y^2 + 2y - 3x - 9y - 3 = x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$

となり、元の式と一致します。

したがって、$x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3 = (x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$