与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は一見すると因数分解できないように見えますが、$a^2$と$b^2$をそれぞれ一つの変数として見て、たすき掛けを試みます。

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (4a^2)a^2 + (-25b^2)a^2b^2 + (36b^4)b^4$

2つの数をかけて $4 \times 36 = 144$ になり、足して $-25$ になるような組み合わせを探します。それは $-9$ と $-16$ です。

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = 4a^4 - 9a^2b^2 - 16a^2b^2 + 36b^4$

$= a^2(4a^2 - 9b^2) - 4b^2(4a^2 - 9b^2)$

$= (a^2 - 4b^2)(4a^2 - 9b^2)$

ここで、$a^2 - 4b^2$と$4a^2 - 9b^2$はそれぞれ差の平方の形なので、更に因数分解できます。

$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$

$4a^2 - 9b^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$

したがって、

$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (a - 2b)(a + 2b)(2a - 3b)(2a + 3b)$

3. 最終的な答え

$(a - 2b)(a + 2b)(2a - 3b)(2a + 3b)$