次の5つの式をそれぞれ因数分解します。 (1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$ (2) $(x+1)^3 - 8$ (3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$ (4) $(x+y)^2 + 8z(x+y) + 16z^2$ (5) $a^4 - a^2b^2 - 12b^4$

1. 問題の内容

次の5つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$

(2) $(x+1)^3 - 8$

(3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

(4) $(x+y)^2 + 8z(x+y) + 16z^2$

(5) $a^4 - a^2b^2 - 12b^4$

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$

これは平方の差の形なので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = x^2 - 4xy$, $B = 4y^2$ とすると、

\begin{align*}

(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4 &= (x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 - 4xy - 4y^2) \\

&= (x - 2y)^2 (x^2 - 4xy - 4y^2)

\end{align*}

$x^2 - 4xy - 4y^2$ はこれ以上因数分解できません。

(2) $(x+1)^3 - 8$

これは立方の差の形なので、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ を利用します。

$A = x+1$, $B = 2$ とすると、

\begin{align*}

(x+1)^3 - 8 &= (x+1-2)((x+1)^2 + 2(x+1) + 4) \\

&= (x-1)(x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) \\

&= (x-1)(x^2 + 4x + 7)

\end{align*}

$x^2 + 4x + 7$ はこれ以上因数分解できません。

(3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

これも立方の差の形なので、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ を利用します。

$A = a+b$, $B = a-c$ とすると、

\begin{align*}

(a+b)^3 - (a-c)^3 &= (a+b - (a-c))((a+b)^2 + (a+b)(a-c) + (a-c)^2) \\

&= (b+c)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - ac + ab - bc + a^2 - 2ac + c^2) \\

&= (b+c)(3a^2 + 3ab - 3ac + b^2 - bc + c^2)

\end{align*}

(4) $(x+y)^2 + 8z(x+y) + 16z^2$

これは $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$ の形と見なせます。

$A = x+y$, $B = 4z$ とすると、

\begin{align*}

(x+y)^2 + 8z(x+y) + 16z^2 &= (x+y + 4z)^2

\end{align*}

(5) $a^4 - a^2b^2 - 12b^4$

$X = a^2$ と置換すると、$X^2 - b^2X - 12b^4$ となります。

これは $(X - 4b^2)(X + 3b^2)$ と因数分解できます。

$X = a^2$ に戻すと、

\begin{align*}

a^4 - a^2b^2 - 12b^4 &= (a^2 - 4b^2)(a^2 + 3b^2) \\

&= (a-2b)(a+2b)(a^2 + 3b^2)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2y)^2(x^2 - 4xy - 4y^2)$

(2) $(x-1)(x^2 + 4x + 7)$

(3) $(b+c)(3a^2 + 3ab - 3ac + b^2 - bc + c^2)$

(4) $(x+y+4z)^2$

(5) $(a-2b)(a+2b)(a^2 + 3b^2)$