問題は、次の式を因数分解することです。 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

1. 問題の内容

問題は、次の式を因数分解することです。

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

この式は、$a, b, c$ に関して対称ではないものの、交代式と呼ばれる性質を持っています。つまり、$a$ と $b$ を交換すると、式全体の符号が変わります。交代式は $(a-b)$ を因数に持ちます。同様に $(b-c)$ と $(c-a)$ も因数に持つことが予想されます。したがって、$(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数に持つと考えられます。

$(a-b)(b-c)(c-a) = (ab - ac - b^2 + bc)(c-a) = abc - ac^2 - b^2c + bc^2 - a^2b + a^2c + ab^2 - abc = -ac^2 - b^2c + bc^2 - a^2b + a^2c + ab^2$

元の式が3次式であるのに対し、$(a-b)(b-c)(c-a)$ は3次式なので、残りの因子は定数である必要があります。しかし、元の式は4次式です。

したがって、$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$ と推測します。

実際に展開して確認します。

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) = -(a-b)(bc-ab-c^2+ac)(a+b+c) = -(a-b)(abc-a^2b-ac^2+a^2c+b^2c-ab^2-bc^2+abc)$

$= -(a-b)(2abc - a^2b - ac^2 + a^2c + b^2c - ab^2 - bc^2) = -(2a^2bc - a^3b - a^2c^2 + a^3c + ab^2c - a^2b^2 - abc^2 -2ab^2c + a^2b^2 + abc^2 - a^2bc - b^3c + ab^3 + b^2c^2)$

$= -(a^2bc - a^3b - a^2c^2 + a^3c - ab^2c - b^3c + ab^3 + b^2c^2)$

$= -a^2bc + a^3b + a^2c^2 - a^3c + ab^2c + b^3c - ab^3 - b^2c^2 = a^3b - a^3c - ab^3 + ab^2c + b^3c - a^2bc + a^2c^2 - b^2c^2$

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$