次の4つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ (2) $\sum_{k=1}^{50} k$ (3) $\sum_{k=1}^{12} k^2$ (4) $\sum_{k=1}^{7} k^3$

1. 問題の内容

次の4つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$

(2) $\sum_{k=1}^{50} k$

(3) $\sum_{k=1}^{12} k^2$

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^3$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ は、定数項の和なので、単に定数に項数を掛けます。

$\sum_{k=1}^{15} 2 = 2 \times 15 = 30$

(2) $\sum_{k=1}^{50} k$ は、等差数列の和の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

この公式に $n = 50$ を代入します。

$\sum_{k=1}^{50} k = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$

(3) $\sum_{k=1}^{12} k^2$ は、平方数の和の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

この公式に $n = 12$ を代入します。

$\sum_{k=1}^{12} k^2 = \frac{12(12+1)(2\times 12+1)}{6} = \frac{12 \times 13 \times 25}{6} = 2 \times 13 \times 25 = 26 \times 25 = 650$

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^3$ は、立方数の和の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

この公式に $n = 7$ を代入します。

$\sum_{k=1}^{7} k^3 = \left( \frac{7(7+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{7 \times 8}{2} \right)^2 = (7 \times 4)^2 = 28^2 = 784$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2 = 30$

(2) $\sum_{k=1}^{50} k = 1275$

(3) $\sum_{k=1}^{12} k^2 = 650$

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^3 = 784$