与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解する問題です。写真に書かれている途中式を参考に、最終的な答えを導き出します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解する問題です。写真に書かれている途中式を参考に、最終的な答えを導き出します。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b$

次に、この式を整理します。写真に書かれている式を参考に、$a^3(b-c)$ の項をまとめます。

$a^3b - a^3c + b^3c - b^3a + c^3a - c^3b = a^3(b-c) - a(b^3 - c^3) + bc(b^2 - c^2)$

ここで、$b^3 - c^3 = (b-c)(b^2 + bc + c^2)$、$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ を用いると、

$a^3(b-c) - a(b-c)(b^2 + bc + c^2) + bc(b-c)(b+c)$

$= (b-c)[a^3 - a(b^2 + bc + c^2) + bc(b+c)]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2c + bc^2]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2 + b^2c - ac^2 - abc + bc^2]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2 - ac^2 + b^2c + bc^2 - abc]$

ここで、因数分解の結果が $(a-b)(b-c)(a-c)$ の形になることを予想して整理していきます。

$= (b-c)(a-b)(a^2+ab-c^2-bc)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) - abc(a-b)(b-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c+abc)$

別のアプローチとして、式を$(a-b)(b-c)(c-a)$の因数を持つことを利用して式を整理する方法があります。しかし、この問題では式が複雑なので、直接因数分解するのは難しいです。

与えられた式に、$a=b$を代入すると、$a^3(a-c)+a^3(c-a)+c^3(a-a) = a^4-a^3c+a^3c-a^4+0=0$となります。同様に、$b=c$と$c=a$を代入しても0となるため、$(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$を因数として持つことがわかります。

したがって、$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = k(a-b)(b-c)(c-a)$とおけます。

$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) = - (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

写真に書かれている式を参考にすると、

$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

が解答であると考えられます。

しかし、写真に書かれている式は誤りを含む可能性があるので、注意が必要です。

上記を踏まえ、因数分解の結果は

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

となります。

最終的な答え：

$-(a-b)(b-c)(a-c)$

または

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

と表記します。