全体集合 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ について、 $A \cap B = \{3\}$, $A \cap \overline{B} = \{0, 7, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 6, 8\}$ であるとき、次の集合を求める。 (1) $A$ (2) $A \cup B$ (3) $B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ について、

$A \cap B = \{3\}$, $A \cap \overline{B} = \{0, 7, 9\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 6, 8\}$ であるとき、次の集合を求める。

(1) $A$

(2) $A \cup B$

(3) $B$

2. 解き方の手順

(1) 集合 $A$ について、$A \cap B = \{3\}$ と $A \cap \overline{B} = \{0, 7, 9\}$ より、

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{3\} \cup \{0, 7, 9\} = \{0, 3, 7, 9\}$

(2) 集合 $A \cup B$ について、

$A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ が成り立つ。

$A \cap \overline{B} = \{0, 7, 9\}$, $A \cap B = \{3\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 6, 8\}$ より、

$A \cup B = \{0, 7, 9\} \cup \{3\} \cup \{2, 6, 8\} = \{0, 2, 3, 6, 7, 8, 9\}$

(3) 集合 $B$ について、

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ が成り立つ。

$A \cap B = \{3\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 6, 8\}$ より、

$B = \{3\} \cup \{2, 6, 8\} = \{2, 3, 6, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \{0, 3, 7, 9\}$

(2) $A \cup B = \{0, 2, 3, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $B = \{2, 3, 6, 8\}$