(i) a = 2 a=2 a = 2 のとき、不等式は ∣ x − 2 3 ∣ < 2 ( 2 ) + 1 10 |x-2\sqrt{3}| < \frac{2(2)+1}{10} ∣ x − 2 3 ∣ < 10 2 ( 2 ) + 1 となる。つまり、 ∣ x − 2 3 ∣ < 5 10 = 1 2 |x-2\sqrt{3}| < \frac{5}{10} = \frac{1}{2} ∣ x − 2 3 ∣ < 10 5 = 2 1 である。
これは − 1 2 < x − 2 3 < 1 2 -\frac{1}{2} < x - 2\sqrt{3} < \frac{1}{2} − 2 1 < x − 2 3 < 2 1 と同値である。 したがって、 2 3 − 1 2 < x < 2 3 + 1 2 2\sqrt{3} - \frac{1}{2} < x < 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} 2 3 − 2 1 < x < 2 3 + 2 1 である。
2 3 ≈ 2 ( 1.732 ) = 3.464 2\sqrt{3} \approx 2(1.732) = 3.464 2 3 ≈ 2 ( 1.732 ) = 3.464 より、 3.464 − 0.5 < x < 3.464 + 0.5 3.464 - 0.5 < x < 3.464 + 0.5 3.464 − 0.5 < x < 3.464 + 0.5 2.964 < x < 3.964 2.964 < x < 3.964 2.964 < x < 3.964 となる。 この範囲にある整数 x は 3 のみである。
(ii) 不等式 ∣ x − 2 3 ∣ < 2 a + 1 10 |x-2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10} ∣ x − 2 3 ∣ < 10 2 a + 1 は − 2 a + 1 10 < x − 2 3 < 2 a + 1 10 -\frac{2a+1}{10} < x - 2\sqrt{3} < \frac{2a+1}{10} − 10 2 a + 1 < x − 2 3 < 10 2 a + 1 と同値である。 したがって、 2 3 − 2 a + 1 10 < x < 2 3 + 2 a + 1 10 2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < x < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10} 2 3 − 10 2 a + 1 < x < 2 3 + 10 2 a + 1 である。 2 3 ≈ 3.464 2\sqrt{3} \approx 3.464 2 3 ≈ 3.464 より、 3.464 − 2 a + 1 10 < x < 3.464 + 2 a + 1 10 3.464 - \frac{2a+1}{10} < x < 3.464 + \frac{2a+1}{10} 3.464 − 10 2 a + 1 < x < 3.464 + 10 2 a + 1 である。
この範囲に含まれる奇数がちょうど 2 個となる a を求める。
奇数が 1 と 3 の場合を考えると、
1 ≤ 3.464 − 2 a + 1 10 < 3 1 \le 3.464 - \frac{2a+1}{10} < 3 1 ≤ 3.464 − 10 2 a + 1 < 3 かつ 3 < 3.464 + 2 a + 1 10 ≤ 5 3 < 3.464 + \frac{2a+1}{10} \le 5 3 < 3.464 + 10 2 a + 1 ≤ 5 となる必要がある。 − 2.464 < − 2 a + 1 10 < − 0.464 -2.464 < -\frac{2a+1}{10} < -0.464 − 2.464 < − 10 2 a + 1 < − 0.464 より 0.464 < 2 a + 1 10 < 2.464 0.464 < \frac{2a+1}{10} < 2.464 0.464 < 10 2 a + 1 < 2.464 , よって 4.64 < 2 a + 1 < 24.64 4.64 < 2a+1 < 24.64 4.64 < 2 a + 1 < 24.64 . 3.64 < 2 a < 23.64 3.64 < 2a < 23.64 3.64 < 2 a < 23.64 , よって 1.82 < a < 11.82 1.82 < a < 11.82 1.82 < a < 11.82 . 3 < 3.464 + 2 a + 1 10 ≤ 5 3 < 3.464 + \frac{2a+1}{10} \le 5 3 < 3.464 + 10 2 a + 1 ≤ 5 より − 0.464 < 2 a + 1 10 ≤ 1.536 -0.464 < \frac{2a+1}{10} \le 1.536 − 0.464 < 10 2 a + 1 ≤ 1.536 , よって − 4.64 < 2 a + 1 ≤ 15.36 -4.64 < 2a+1 \le 15.36 − 4.64 < 2 a + 1 ≤ 15.36 . − 5.64 < 2 a ≤ 14.36 -5.64 < 2a \le 14.36 − 5.64 < 2 a ≤ 14.36 , よって − 2.82 < a ≤ 7.18 -2.82 < a \le 7.18 − 2.82 < a ≤ 7.18 .
整数 a は 2, 3, 4, 5, 6, 7。
整数 a a a は 2 ≤ a ≤ 7 2 \le a \le 7 2 ≤ a ≤ 7 を満たす。このとき、奇数解が 1 と 3 であるならば、5 はこの区間に含まれてはいけない。 5 ≥ 3.464 − 2 a + 1 10 5 \ge 3.464 - \frac{2a+1}{10} 5 ≥ 3.464 − 10 2 a + 1 かつ 5 < 3.464 + 2 a + 1 10 5 < 3.464 + \frac{2a+1}{10} 5 < 3.464 + 10 2 a + 1 . 1.536 ≥ − 2 a + 1 10 1.536 \ge -\frac{2a+1}{10} 1.536 ≥ − 10 2 a + 1 , 15.36 ≥ − 2 a − 1 15.36 \ge -2a -1 15.36 ≥ − 2 a − 1 . 16.36 ≥ − 2 a 16.36 \ge -2a 16.36 ≥ − 2 a , a ≥ − 8.18 a \ge -8.18 a ≥ − 8.18 . 1.536 < 2 a + 1 10 1.536 < \frac{2a+1}{10} 1.536 < 10 2 a + 1 , 15.36 < 2 a + 1 15.36 < 2a + 1 15.36 < 2 a + 1 , 14.36 < 2 a 14.36 < 2a 14.36 < 2 a , 7.18 < a 7.18 < a 7.18 < a . a ≥ 8 a \ge 8 a ≥ 8 を考えると、区間は [ 3.464 − 17 10 , 3.464 + 17 10 ] = [ 1.764 , 5.164 ] [3.464 - \frac{17}{10}, 3.464 + \frac{17}{10}] = [1.764, 5.164] [ 3.464 − 10 17 , 3.464 + 10 17 ] = [ 1.764 , 5.164 ] . この区間にある奇数は 3 と 5 の 2 つ. よって不適。
a = 2 a=2 a = 2 のとき、 ( 2 3 − 0.5 , 2 3 + 0.5 ) = ( 2.964 , 3.964 ) (2\sqrt{3} - 0.5, 2\sqrt{3} + 0.5)=(2.964, 3.964) ( 2 3 − 0.5 , 2 3 + 0.5 ) = ( 2.964 , 3.964 ) 。奇数は 3 のみで条件を満たさない。 a = 3 a=3 a = 3 のとき、 ( 2 3 − 0.7 , 2 3 + 0.7 ) = ( 2.764 , 4.164 ) (2\sqrt{3} - 0.7, 2\sqrt{3} + 0.7)=(2.764, 4.164) ( 2 3 − 0.7 , 2 3 + 0.7 ) = ( 2.764 , 4.164 ) 。奇数は 3 のみで条件を満たさない。 a = 4 a=4 a = 4 のとき、 ( 2 3 − 0.9 , 2 3 + 0.9 ) = ( 2.564 , 4.364 ) (2\sqrt{3} - 0.9, 2\sqrt{3} + 0.9)=(2.564, 4.364) ( 2 3 − 0.9 , 2 3 + 0.9 ) = ( 2.564 , 4.364 ) 。奇数は 3 のみで条件を満たさない。 a = 5 a=5 a = 5 のとき、 ( 2 3 − 1.1 , 2 3 + 1.1 ) = ( 2.364 , 4.564 ) (2\sqrt{3} - 1.1, 2\sqrt{3} + 1.1)=(2.364, 4.564) ( 2 3 − 1.1 , 2 3 + 1.1 ) = ( 2.364 , 4.564 ) 。奇数は 3 のみで条件を満たさない。 a = 6 a=6 a = 6 のとき、 ( 2 3 − 1.3 , 2 3 + 1.3 ) = ( 2.164 , 4.764 ) (2\sqrt{3} - 1.3, 2\sqrt{3} + 1.3)=(2.164, 4.764) ( 2 3 − 1.3 , 2 3 + 1.3 ) = ( 2.164 , 4.764 ) 。奇数は 3 のみで条件を満たさない。 a = 7 a=7 a = 7 のとき、 ( 2 3 − 1.5 , 2 3 + 1.5 ) = ( 1.964 , 4.964 ) (2\sqrt{3} - 1.5, 2\sqrt{3} + 1.5)=(1.964, 4.964) ( 2 3 − 1.5 , 2 3 + 1.5 ) = ( 1.964 , 4.964 ) 。奇数は 3 のみで条件を満たさない。 a = 8 a=8 a = 8 のとき、 ( 2 3 − 1.7 , 2 3 + 1.7 ) = ( 1.764 , 5.164 ) (2\sqrt{3} - 1.7, 2\sqrt{3} + 1.7)=(1.764, 5.164) ( 2 3 − 1.7 , 2 3 + 1.7 ) = ( 1.764 , 5.164 ) 。奇数は 3, 5 で条件を満たす。 a = 9 a=9 a = 9 のとき、 ( 2 3 − 1.9 , 2 3 + 1.9 ) = ( 1.564 , 5.364 ) (2\sqrt{3} - 1.9, 2\sqrt{3} + 1.9)=(1.564, 5.364) ( 2 3 − 1.9 , 2 3 + 1.9 ) = ( 1.564 , 5.364 ) 。奇数は 3, 5 で条件を満たす。 a = 10 a=10 a = 10 のとき、 ( 2 3 − 2.1 , 2 3 + 2.1 ) = ( 1.364 , 5.564 ) (2\sqrt{3} - 2.1, 2\sqrt{3} + 2.1)=(1.364, 5.564) ( 2 3 − 2.1 , 2 3 + 2.1 ) = ( 1.364 , 5.564 ) 。奇数は 3, 5 で条件を満たす。 a = 11 a=11 a = 11 のとき、 ( 2 3 − 2.3 , 2 3 + 2.3 ) = ( 1.164 , 5.764 ) (2\sqrt{3} - 2.3, 2\sqrt{3} + 2.3)=(1.164, 5.764) ( 2 3 − 2.3 , 2 3 + 2.3 ) = ( 1.164 , 5.764 ) 。奇数は 3, 5 で条件を満たす。
したがって、条件を満たす整数 a は 8, 9, 10, 11 の 4 個である。
