三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=7$, $CA=5$とする。$\cos \angle BCA$、$\sin \angle BCA$、$\triangle ABC$の外接円の半径を求め、直線ABと平行な直線$l$が$\triangle ABC$の外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、$AD=3$である。このとき、$\cos \angle ADB$と$BD$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=7$, $CA=5$とする。$\cos \angle BCA$、$\sin \angle BCA$、$\triangle ABC$の外接円の半径を求め、直線ABと平行な直線$l$が$\triangle ABC$の外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、$AD=3$である。このとき、$\cos \angle ADB$と$BD$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle BCA$を求める。余弦定理より、

$$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2BC \cdot CA \cos \angle BCA$$

$$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cos \angle BCA$$

$$64 = 49 + 25 - 70 \cos \angle BCA$$

$$70 \cos \angle BCA = 10$$

$$\cos \angle BCA = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

(2) $\sin \angle BCA$を求める。$\sin^2 \angle BCA + \cos^2 \angle BCA = 1$より、

$$\sin^2 \angle BCA = 1 - \cos^2 \angle BCA = 1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$

$\sin \angle BCA > 0$より、

$$\sin \angle BCA = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

(3) $\triangle ABC$の外接円の半径$R$を求める。正弦定理より、

$$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$$

$$R = \frac{AB}{2\sin \angle BCA} = \frac{8}{2\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{8\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$

(4) $\angle ADB$を求める。円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB$、または$\angle ADB + \angle ACB = 180^\circ$。

$l$が点Cを含まない方の弧ABと交わっているので、四角形$ADBC$は円に内接する。したがって$\angle ADB = 180^\circ - \angle ACB$である。

よって$\cos \angle ADB = \cos (180^\circ - \angle BCA) = -\cos \angle BCA = -\frac{1}{7}$

(5) $BD$を求める。$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD \cdot BD \cos \angle ADB$$

$$8^2 = 3^2 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \left(-\frac{1}{7}\right)$$

$$64 = 9 + BD^2 + \frac{6}{7}BD$$

$$BD^2 + \frac{6}{7}BD - 55 = 0$$

$$7BD^2 + 6BD - 385 = 0$$

$$BD = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot (-385)}}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 10780}}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{10816}}{14} = \frac{-6 \pm 104}{14}$$

$BD > 0$より、

$$BD = \frac{-6+104}{14} = \frac{98}{14} = 7$$

3. 最終的な答え

$\cos \angle BCA = \frac{1}{7}$

$\sin \angle BCA = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径は$\frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\cos \angle ADB = -\frac{1}{7}$

$BD = 7$