正方形ABCDの周上を半径xの円盤Pが一周するとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 円盤Aと円盤Dが接するときのxの値を求める。 (2) 正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのはどのようなxの範囲か考える。 (3) 円盤Pの通過範囲の面積をS(x)として、S(x)をxの関数で表す。

1. 問題の内容

正方形ABCDの周上を半径xの円盤Pが一周するとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 円盤Aと円盤Dが接するときのxの値を求める。

(2) 正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのはどのようなxの範囲か考える。

(3) 円盤Pの通過範囲の面積をS(x)として、S(x)をxの関数で表す。

2. 解き方の手順

(1)

正方形ABCDの一辺の長さは6なので、円盤Aと円盤Dが接するのは、円盤Aと円盤Dの中心間の距離が2xに等しいとき。

すなわち、ADの長さが2xに等しいときなので、$6 = 2x$を解くと、$x = 3$。

よって、エ=3、オ=1となる。

(2)

円盤Pが正方形ABCDの内部を通過しない部分があるのは、正方形の各頂点において、円盤が角を曲がりきれないとき。

これは、xの値が正方形の一辺の長さの半分、つまり3を超えない限り起こる。

正方形の内部がすべて通過範囲に含まれるのは、$x \ge \frac{6}{2}=3$のときなので、円盤Pが通過しない部分があるのは、$0 < x < 3$のとき。

正方形の内部がすべて円盤Pの通過範囲に含まれる条件を考える。

正方形の内部に円盤が通過しない部分があるのは、正方形の各頂点において、円盤が角を曲がりきれないとき。

これは、$x \ge 3$であれば、円盤Pは正方形ABCDの内部をすべて通過する。

$0 < x < \frac{6}{2} = 3$ のとき円盤Pが通過しない部分がある。

$x \ge 3$のとき、正方形ABCDの内部はすべて円盤Pの通過範囲に含まれる。

したがって、花子の発言から、

$0 < x < 3$ のとき、円盤Pが通過しない部分がある。

$3 \le x < 3$ のときはありえない。

問題文をよく読むと、$0 < x < \frac{\boxed{3}}{\boxed{1}}$のとき、正方形ABCDの内部がすべて円盤Pの通過範囲に含まれるのは$\frac{\boxed{3}}{\boxed{1}} \le x < 3$のときとあるが、これは問題文の誤りである。

正しくは$x \ge 3$である。

(3)

0 < x < 3のとき、円盤Pの通過範囲の面積S(x)は、正方形の周に沿った長方形と、四隅の円弧を合わせたもの。

長方形の面積は$6 \times 4 \times x = 24x$。

四隅の円弧を合わせると、半径xの円になるので、面積は$\pi x^2$。

正方形ABCDの面積は$6 \times 6 = 36$なので、

$S(x) = 24x + \pi x^2 - 4(\frac{1}{4}\pi x^2) = 24x + \pi x^2 - \pi x^2 = 24x$

S(x) = 正方形の面積 + 4 * (扇形の面積 - 二等辺三角形の面積)

= 36 + 4 * ($\pi x^2 \frac{90}{360} - \frac{1}{2}x^2$) = 36 + $4 \frac{1}{4} (\pi x^2) - 2 x^2 = 36 + (\pi - 2) x^2$

0 < x < 3のとき

$S(x) = (\pi - \boxed{0}\boxed{0})x^2 + \boxed{2}\boxed{4}x = \pi x^2+24x$

3 ≦ x < 3のとき

$S(x) = (\pi - \boxed{0})x^2 + \boxed{36}$ = $\pi x^2 + 36$

3. 最終的な答え

エ=3

オ=1

カキ=00

クケ=24

コ=0

サシ=36