鋭角三角形ABCにおいて、AB=4, AC=3とする。△ADEは、△ABCを平面ABC上で点Aを中心に回転したものであり、△ABCと△ADEの頂点はこの順に対応している。点Eは線分AB上にあるとし、さらに、直線ABと直線DCの交点をF,直線BCと直線DEの交点をGとする。このとき、AE, EB, AE:EB, CF:FDを求める。また、DE:EG=4:1 とする。△CDGと直線BFに着目すると、メネラウスの定理によりGB/BCを求め、(△BGEの面積)/(△CAEの面積)を求める。

1. 問題の内容

鋭角三角形ABCにおいて、AB=4, AC=3とする。△ADEは、△ABCを平面ABC上で点Aを中心に回転したものであり、△ABCと△ADEの頂点はこの順に対応している。点Eは線分AB上にあるとし、さらに、直線ABと直線DCの交点をF,直線BCと直線DEの交点をGとする。このとき、AE, EB, AE:EB, CF:FDを求める。また、DE:EG=4:1 とする。△CDGと直線BFに着目すると、メネラウスの定理によりGB/BCを求め、(△BGEの面積)/(△CAEの面積)を求める。

2. 解き方の手順

まず、図からAE=AD, EB=AB-AEである。AB=4, AC=3であることから、AE=3、EB=4-3=1となる。

AE:EB = 3:1

次に、△ABCと△ADEは合同であることから、∠BAC=∠DAEである。したがって、∠BAD=∠CAEである。また、AB=AD, AC=AEより、△ABD∽△ACEとなる。

△CDGと直線BFについて、メネラウスの定理を用いると、

$\frac{CB}{BG} \cdot \frac{GE}{ED} \cdot \frac{DF}{FC} = 1$

ここで、DE:EG=4:1より、GE/ED=1/4。また、△ABCと△ADEは合同であり、∠BAC=∠DAEなので、CF/FD=CA/AD=AC/AB=3/4である。よって、DF/FC=4/3。

$\frac{CB}{BG} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{CB}{BG} = 3$

$CB = 3BG$

$BG = \frac{1}{3} CB$

$BG = \frac{1}{3}BC$

$CG = BC - BG = BC - \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}BC$

$GB/BC = \frac{1}{3}$

△BGEと△CAEについて、

$\frac{△BGE}{△CAE} = \frac{\frac{1}{2} BG \cdot BE \cdot sin∠EBG}{\frac{1}{2} CA \cdot AE \cdot sin∠CAE}$

$∠EBG = ∠ABC$

$∠CAE = ∠BAD$

$∠EBG = ∠ABC$

ここで、△ABDと△ACEは相似なので∠BAD = ∠ACE。

$\frac{△BGE}{△CAE} = \frac{BG \cdot BE}{CA \cdot AE} = \frac{\frac{1}{3}BC \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{\frac{1}{3}BC}{9} = \frac{BC}{27}$

EはAB上にあることから$\frac{BE}{BA}=\frac{1}{4}$

$\frac{△BGE}{△ABE}=\frac{BG}{BA}=\frac{1}{3}$

また$\frac{△CAE}{△ABC}=\frac{CA}{AB}=\frac{3}{4}$

$\frac{△ABE}{△ABC}=\frac{\frac{1}{2} BE \cdot AB \cdot sin(∠ABE)}{\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin(∠ABC)}$

$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{3}=1$

$\frac{CF}{FD} = \frac{CA}{AD} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$

△BGEの面積 : $\frac{1}{3} BE = \frac{1}{3} * 1 * h$

△CAEの面積: $\frac{1}{2} CA * AE= \frac{1}{2} * 3 *3$

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{27}$

3. 最終的な答え

AE = 3

EB = 1

AE:EB = 3:1

CF:FD = 3:4

GB/BC = 1/3

(△BGEの面積)/(△CAEの面積) = 2/27