△ADEの外接円と直線BDとの交点をHとする。鋭角三角形ABCの形状によらず、4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを証明する問題です。空欄「ケ」「コ」「サ」「シ」を埋める必要があります。

1. 問題の内容

△ADEの外接円と直線BDとの交点をHとする。鋭角三角形ABCの形状によらず、4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを証明する問題です。空欄「ケ」「コ」「サ」「シ」を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを示すためには、方べきの定理の逆より $BH \cdot BD =$ ケ を示す必要があります。

選択肢より、ケは $BG \cdot BC$、$CG \cdot CB$、$BG^2$ のいずれかです。

(2) 4点A, E, H, Dは同一円周上にあるから、方べきの定理により、$BH \cdot BD = AH \cdot AE$ が成り立ちます。図形から $AH \cdot AE = BG \cdot BC$ であることがわかります。

したがって、 $BH \cdot BD =$ コ $= BG \cdot BC$ です。

(3) $\angle BCA + \angle$ サ $= 180^\circ$ となるようなサを考えます。図から、$\angle BCA + \angle AEG = 180^\circ$ が成り立ちます。したがって、サは AEG です。

(4) $\angle BCA + \angle AEG = 180^\circ$ であることから、4点 シ は同一円周上にあることがわかります。この4点は A, C, F, G です。

(5) 方べきの定理により、ケ $= BG \cdot BC$ であり、コ $= BG \cdot BC$ であるので、 ケ $=$ コ が成り立ちます。

(6) ①、②より、$BH \cdot BD =$ ケ $= BG \cdot BC$ であるから、4点C, G, H, Dは同一円周上にあることが示されます。

3. 最終的な答え

ケ: $BG \cdot BC$

コ: $BG \cdot BC$

サ: AEG

シ: A, C, F, G