円Oにおいて、ABは直径であり、$\angle ABC = 40^\circ$、かつ$BD = CD$のとき、$\angle ACD$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円Oにおいて、ABは直径であり、$\angle ABC = 40^\circ$、かつ$BD = CD$のとき、$\angle ACD$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACB$は直径に対する円周角なので、$\angle ACB = 90^\circ$です。

したがって、$\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$です。

次に、$BD = CD$なので、$\stackrel{\frown}{BD} = \stackrel{\frown}{CD}$です。

よって、$\angle BAD = \angle CAD$となります。

したがって、$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 50^\circ = 25^\circ$です。

求める$\angle ACD$は弧ADに対する円周角なので、$\angle ACD = \angle ABD$です。

ここで、$\angle ABD$を求めます。

$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$なので、$\angle DBC$を求める必要があります。

$\angle DAC = 25^{\circ}$で, 弧DCに対する円周角は$\angle DBC$なので、

$\angle DBC = \angle DAC = 25^\circ$です。

よって、$\angle ACD = \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 40^\circ - 25^\circ = 15^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$\angle ACD = 15^\circ$