数列 $\{a_n\}$ が初項2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるとする。数列 $\{a_n\}$ の一般項, 数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であるときの $b_2 - b_1$ と $b_3 - b_2$, 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるときの公比 $r$, 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が初項2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるとする。数列 $\{a_n\}$ の一般項, 数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であるときの $b_2 - b_1$ と $b_3 - b_2$, 数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるときの公比 $r$, 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める問題。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の一般項 $a_n = a \cdot r^{n-1}$ を用いる。

$a=2$, $r=\frac{1}{3}$ より

$a_n = 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{2}{3^{n-1}}$

数列 $\{b_n\}$ の階差数列が数列 $\{a_n\}$ であることから、$b_2 - b_1 = a_1$ , $b_3 - b_2 = a_2$ である。

$a_1 = \frac{2}{3^{1-1}} = \frac{2}{1} = 2$

$a_2 = \frac{2}{3^{2-1}} = \frac{2}{3}$

数列 $\{b_n\}$ が等比数列であるとき、公比 $r$ は $r = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_1 + a_1 + a_2}{b_1 + a_1}$ である。しかし、$b_1$ の情報がないので、別の方法で求める必要がある。

$b_2=b_1r$, $b_3=b_1r^2$より

$b_2-b_1=b_1(r-1)=a_1=2$

$b_3-b_2=b_1r(r-1)=a_2=\frac{2}{3}$

$\frac{b_1r(r-1)}{b_1(r-1)}=\frac{2/3}{2}$

$r=\frac{1}{3}$

$b_1(r-1)=2$より$b_1(\frac{1}{3}-1)=2$

$b_1(-\frac{2}{3})=2$

$b_1 = -3$

数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = b_1 \cdot r^{n-1} = -3 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = -3 \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = -\frac{3}{3^{n-1}} = -\frac{1}{3^{n-2}}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2}{3^{n-1}}$

$b_2 - b_1 = a_1 = 2$

$b_3 - b_2 = a_2 = \frac{2}{3}$

$r = \frac{1}{3}$

$b_n = -\frac{1}{3^{n-2}}$