(1) 4次方程式 $x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = 0$ の分解方程式（♡）を解く。 (2) (1) の結果を利用して、$x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 4次方程式 $x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = 0$ の分解方程式（♡）を解く。

(2) (1) の結果を利用して、$x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 4次方程式 $x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = 0$ の分解方程式を求める。一般に、4次方程式 $x^4 + ax^2 + bx + c = 0$ の分解方程式は

$t^3 + 2at^2 + (a^2 - 4c)t - b^2 = 0$

で与えられます。

今回の問題では、$a = -28$, $b = 64$, $c = -28$ なので、分解方程式は

$t^3 - 56t^2 + ((-28)^2 - 4(-28))t - 64^2 = 0$

$t^3 - 56t^2 + (784 + 112)t - 4096 = 0$

$t^3 - 56t^2 + 896t - 4096 = 0$

$t^3 - 56t^2 + 896t - 4096 = (t-32)(t^2-24t+128)=(t-32)(t-8)(t-16)$

なので、$t = 8, 16, 32$ です。

(2) (1) の結果を利用して、$x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = 0$ を解く。

分解方程式の解の一つ、例えば $t=8$ を使って解きます。

$x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = (x^2+ \sqrt{t}x + p)(x^2 - \sqrt{t}x + q)$

$=(x^2+ \sqrt{8}x + p)(x^2 - \sqrt{8}x + q)$

$=(x^2+ 2\sqrt{2}x + p)(x^2 - 2\sqrt{2}x + q)$

と置きます。

展開すると、

$x^4 + (p+q-8)x^2 + 2\sqrt{2}(q-p)x + pq$

係数を比較すると

$p+q-8 = -28 \implies p+q = -20$

$2\sqrt{2}(q-p) = 64 \implies q-p = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2}$

$pq = -28$

$q = -10+8\sqrt{2}$, $p=-10-8\sqrt{2}$

$(x^2+ 2\sqrt{2}x -10-8\sqrt{2})(x^2 - 2\sqrt{2}x -10+8\sqrt{2})=0$

$x^2+ 2\sqrt{2}x -10-8\sqrt{2} = 0$ より $x = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{8+4(10+8\sqrt{2})}}{2}= \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{48 + 32\sqrt{2}}}{2}$

$x^2- 2\sqrt{2}x -10+8\sqrt{2}=0$ より $x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8+4(10-8\sqrt{2})}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{48 - 32\sqrt{2}}}{2}$

別の方法として、カルダノ・フェラーリの解法を使う。

$x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = (x^2+A)^2 -2Ax^2 -A^2 -28x^2 +64x -28$

$=(x^2+A)^2 -(2A+28)x^2 + 64x -(A^2 +28)$

$=(x^2+A)^2 -(\sqrt{2A+28}x - \frac{32}{\sqrt{2A+28}})^2 +(\frac{32}{\sqrt{2A+28}})^2 - (A^2+28)=0$

$64^2 -4(2A+28)(A^2+28) = 0$

$4096 -4(2A^3+28A^2 +56A + 784) = 0$

$2A^3 +28A^2 +56A +784 - 1024 = 0$

$2A^3 +28A^2 +56A -240 = 0$

$A^3+14A^2 + 28A - 120 = 0$

$A = 2$のとき $8+56+56-120=0$ なので $A=2$

$x^4 - 28x^2 + 64x - 28 = (x^2+2)^2 -32x^2 + 64x - 32=(x^2+2)^2 -32(x^2-2x+1)=(x^2+2)^2 -32(x-1)^2$

$=(x^2+2-4\sqrt{2}(x-1))(x^2+2+4\sqrt{2}(x-1))$

$=(x^2-4\sqrt{2}x+2+4\sqrt{2})(x^2+4\sqrt{2}x+2-4\sqrt{2})=0$

$x^2-4\sqrt{2}x+2+4\sqrt{2} = 0$ より $x=\frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{32-4(2+4\sqrt{2})}}{2}=\frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{24-16\sqrt{2}}}{2}$

$x^2+4\sqrt{2}x+2-4\sqrt{2}=0$ より $x=\frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{32-4(2-4\sqrt{2})}}{2}=\frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{24+16\sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 分解方程式は $t^3 - 56t^2 + 896t - 4096 = 0$ であり、その解は $t = 8, 16, 32$ です。

(2) $x = 2\sqrt{2} \pm \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}, -2\sqrt{2} \pm \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$

または、

$x=\frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{24-16\sqrt{2}}}{2}, x=\frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{24+16\sqrt{2}}}{2}$