与えられた式 $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、二重根号を外すことを試みます。

$6 - 3\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形にすることを考えます。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$

したがって、$a + b = 6$ かつ $2\sqrt{ab} = 3\sqrt{3}$ となる $a$ と $b$ を見つけます。

$2\sqrt{ab} = 3\sqrt{3}$ より、$\sqrt{ab} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

両辺を2乗すると、 $ab = \frac{27}{4}$

$a+b=6$ より $b = 6-a$ を代入すると、

$a(6-a) = \frac{27}{4}$

$6a - a^2 = \frac{27}{4}$

$24a - 4a^2 = 27$

$4a^2 - 24a + 27 = 0$

$(2a - 3)(2a - 9) = 0$

$a = \frac{3}{2}$ または $a = \frac{9}{2}$

$a = \frac{9}{2}$ のとき $b = 6 - \frac{9}{2} = \frac{12}{2} - \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{2}$ のとき $b = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

したがって、$a = \frac{9}{2}, b = \frac{3}{2}$ または $a = \frac{3}{2}, b = \frac{9}{2}$ です。

$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}})^2} = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2} = |\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}| = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$