実数 $a, b$ が異なるとき、以下の問題を解く。 (1) 数列 $1, a, b$ が等差数列であるとき、$1, a, b$ を並べ替えて等比数列が作れるような $a, b$ の値をすべて求めよ。 (2) 数列 $1, a, b$ が等比数列であるとき、$1, a, b$ を並べ替えて等差数列が作れるような $a, b$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ が異なるとき、以下の問題を解く。

(1) 数列 $1, a, b$ が等差数列であるとき、$1, a, b$ を並べ替えて等比数列が作れるような $a, b$ の値をすべて求めよ。

(2) 数列 $1, a, b$ が等比数列であるとき、$1, a, b$ を並べ替えて等差数列が作れるような $a, b$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1, a, b$ が等差数列であるとき、$2a = 1 + b$ が成り立つ。したがって、$b = 2a - 1$ である。

$1, a, b$ を並べ替えて等比数列ができるのは、以下の6つの場合である。

(i) $1, a, b$: $a^2 = b$

(ii) $1, b, a$: $b^2 = a$

(iii) $a, 1, b$: $1 = ab$

(iv) $a, b, 1$: $b^2 = a$

(v) $b, 1, a$: $1 = ab$

(vi) $b, a, 1$: $a^2 = b$

(i) $a^2 = b = 2a - 1$ より、$a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$

このとき $b = 2(1) - 1 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

(ii) $b^2 = a$ より、 $(2a-1)^2 = a \implies 4a^2 - 4a + 1 = a \implies 4a^2 - 5a + 1 = 0 \implies (4a - 1)(a - 1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = \frac{1}{4}$ である。

$a = 1$ のとき、$b = 2(1) - 1 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

$a = \frac{1}{4}$ のとき、$b = 2(\frac{1}{4}) - 1 = -\frac{1}{2}$ となる。

このとき、数列は $1, \frac{1}{4}, -\frac{1}{2}$ である。並べ替えると $-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 1$ となり、$\frac{(1/4)}{(-1/2)} = -\frac{1}{2}$, $\frac{1}{(1/4)} = 4$ より、等比数列にならないので不適。

(iii) $ab = 1$ より、$a(2a-1) = 1 \implies 2a^2 - a - 1 = 0 \implies (2a+1)(a-1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = -\frac{1}{2}$ である。

$a = 1$ のとき、$b = 2(1) - 1 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$b = 2(-\frac{1}{2}) - 1 = -2$ となる。

このとき、数列は $1, -\frac{1}{2}, -2$ である。並べ替えると $-\frac{1}{2}, 1, -2$ となり、$\frac{1}{(-1/2)} = -2$, $\frac{-2}{1} = -2$ より、等比数列となるので適する。

(iv), (v), (vi) は (ii), (iii), (i) と同じになるので、省略する。

(2) 数列 $1, a, b$ が等比数列であるとき、$a^2 = b$ が成り立つ。したがって、$b = a^2$ である。

$1, a, b$ を並べ替えて等差数列ができるのは、以下の6つの場合である。

(i) $1, a, b$: $2a = 1 + b$

(ii) $1, b, a$: $2b = 1 + a$

(iii) $a, 1, b$: $2 = a + b$

(iv) $a, b, 1$: $2b = a + 1$

(v) $b, 1, a$: $2 = b + a$

(vi) $b, a, 1$: $2a = b + 1$

(i) $2a = 1 + b = 1 + a^2$ より、$a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$

このとき、$b = 1^2 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

(ii) $2b = 1 + a$ より、$2a^2 = 1 + a \implies 2a^2 - a - 1 = 0 \implies (2a + 1)(a - 1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = -\frac{1}{2}$ である。

$a = 1$ のとき、$b = 1^2 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$b = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ となる。

このとき、数列は $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ である。並べ替えると $1, \frac{1}{4}, -\frac{1}{2}$ となり、 $2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$ となるので等差数列となる。

(iii) $2 = a + b = a + a^2 \implies a^2 + a - 2 = 0 \implies (a+2)(a-1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = -2$ である。

$a = 1$ のとき、$b = 1^2 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

$a = -2$ のとき、$b = (-2)^2 = 4$ となる。

このとき、数列は $1, -2, 4$ である。並べ替えると $-2, 1, 4$ となり、 $1 - (-2) = 3$, $4 - 1 = 3$ より、等差数列となるので適する。

(iv) $2b = a + 1$ より、$2a^2 = a + 1 \implies 2a^2 - a - 1 = 0 \implies (2a+1)(a-1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = -\frac{1}{2}$ である。

$a = 1$ のとき、$b = 1^2 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$b = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ となる。

このとき、数列は $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ である。並べ替えると $-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 1$ となり、 $\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$, $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ より、等差数列となるので適する。

(v) $2 = b + a$ より、$2 = a^2 + a \implies a^2 + a - 2 = 0 \implies (a+2)(a-1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = -2$ である。

$a = 1$ のとき、$b = 1^2 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

$a = -2$ のとき、$b = (-2)^2 = 4$ となる。

このとき、数列は $1, -2, 4$ である。並べ替えると $4, 1, -2$ となり、 $1-4=-3$, $-2-1=-3$ より等差数列になるので適する。

(vi) $2a = b + 1$ より、$2a = a^2 + 1 \implies a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$

このとき、$b = 1^2 = 1$ となり、$a, b$ が異なるとする条件に反するので不適。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{2}, b = -2$

(2) $a = -\frac{1}{2}, b = \frac{1}{4}$ と $a = -2, b = 4$