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与えられた式 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ を展開せよ。

代数学式の展開因数分解多項式
2025/5/3

1. 問題の内容

与えられた式 (x2+x+1)(x2−x+1)(x4−x2+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの因数 (x2+x+1)(x^2+x+1) と (x2−x+1)(x^2-x+1) を展開します。
これは、(A+x)(A−x)(A+x)(A-x) の形であり、A=x2+1A=x^2+1 と置くと、
(x2+x+1)(x2−x+1)=(x2+1+x)(x2+1−x)=(x2+1)2−x2(x^2+x+1)(x^2-x+1) = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+1)^2 - x^2
=(x4+2x2+1)−x2=x4+x2+1= (x^4+2x^2+1) - x^2 = x^4+x^2+1 となります。
次に、この結果と最後の因数 (x4−x2+1)(x^4-x^2+1) を掛け合わせます。
(x4+x2+1)(x4−x2+1)(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1) は、(B+x2)(B−x2)(B+x^2)(B-x^2) の形であり、B=x4+1B=x^4+1 と置くと、
(x4+x2+1)(x4−x2+1)=(x4+1+x2)(x4+1−x2)=(x4+1)2−(x2)2(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1) = (x^4+1+x^2)(x^4+1-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2
=(x8+2x4+1)−x4=x8+x4+1= (x^8+2x^4+1) - x^4 = x^8+x^4+1

3. 最終的な答え

x8+x4+1x^8+x^4+1

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