## 問題の内容

## 問題の内容

次の6つの式を展開します。

(1) $(-2x+3y)^2$

(2) $(3x-4y)(4y+3x)$

(3) $(2x+3)(4x-5)$

(4) $(x-2y+3z)^2$

(5) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$

(6) $(t^2+t+1)(t^2-t+1)$

## 解き方の手順

**(1) $(-2x+3y)^2$**

これは二項の平方の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使って展開できます。

$(-2x+3y)^2 = (-2x)^2 + 2(-2x)(3y) + (3y)^2$

$= 4x^2 - 12xy + 9y^2$

**(2) $(3x-4y)(4y+3x)$**

これは単純な展開です。

$(3x-4y)(4y+3x) = (3x-4y)(3x+4y)$

$= (3x)^2 - (4y)^2$

$= 9x^2 - 16y^2$

**(3) $(2x+3)(4x-5)$**

これも単純な展開です。

$(2x+3)(4x-5) = 2x(4x-5) + 3(4x-5)$

$= 8x^2 - 10x + 12x - 15$

$= 8x^2 + 2x - 15$

**(4) $(x-2y+3z)^2$**

これは三項の平方の公式 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ を使って展開できます。

$(x-2y+3z)^2 = x^2 + (-2y)^2 + (3z)^2 + 2(x)(-2y) + 2(-2y)(3z) + 2(3z)(x)$

$= x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy - 12yz + 6zx$

**(5) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$**

まず $(x+3)(x-3)$ を展開します。これは和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使えます。

$(x+3)(x-3) = x^2 - 9$

次に $(x^2+9)(x^2-9)$ を展開します。これも和と差の積の公式が使えます。

$(x^2+9)(x^2-9) = (x^2)^2 - 9^2$

$= x^4 - 81$

**(6) $(t^2+t+1)(t^2-t+1)$**

これは少し工夫が必要です。$(t^2+1)$をまとめて考えると計算が楽になります。

$(t^2+t+1)(t^2-t+1) = ((t^2+1)+t)((t^2+1)-t)$

$= (t^2+1)^2 - t^2$

$= t^4 + 2t^2 + 1 - t^2$

$= t^4 + t^2 + 1$

## 最終的な答え

(1) $4x^2 - 12xy + 9y^2$

(2) $9x^2 - 16y^2$

(3) $8x^2 + 2x - 15$

(4) $x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy - 12yz + 6zx$

(5) $x^4 - 81$

(6) $t^4 + t^2 + 1$