A, B, Cの3人がX地点からY地点へ向かった。AはBより時速5km速く、Bより16分早く到着した。AはCより時速10km速く、Cより36分早く到着した。Cの時速を求める問題。

1. 問題の内容

A, B, Cの3人がX地点からY地点へ向かった。AはBより時速5km速く、Bより16分早く到着した。AはCより時速10km速く、Cより36分早く到着した。Cの時速を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、AとBの速さ、到着時間の関係からX地点からY地点までの距離を求める。次に、AとCの速さ、到着時間の関係から同じ距離を求める。これら2つの式を連立させてCの速さを求める。

Aの速さを $v_A$ [km/h], Bの速さを $v_B$ [km/h], Cの速さを $v_C$ [km/h]とする。また、X地点からY地点までの距離を $d$ [km]とする。

問題文より、

$v_A = v_B + 5$

$v_A = v_C + 10$

BはAより16分遅れて到着したので、時間に換算すると$\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ 時間遅れて到着。

CはAより36分遅れて到着したので、時間に換算すると$\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$ 時間遅れて到着。

A, Bそれぞれについて、$時間 = 距離 / 速さ$ の関係から、

$\frac{d}{v_A} + \frac{4}{15} = \frac{d}{v_B}$

$\frac{d}{v_A} + \frac{3}{5} = \frac{d}{v_C}$

$v_B = v_A - 5$ および $v_C = v_A - 10$ を代入すると、

$\frac{d}{v_A} + \frac{4}{15} = \frac{d}{v_A - 5}$

$\frac{d}{v_A} + \frac{3}{5} = \frac{d}{v_A - 10}$

これらの式を変形して、

$\frac{4}{15} = \frac{d}{v_A - 5} - \frac{d}{v_A} = \frac{dv_A - d(v_A - 5)}{v_A(v_A - 5)} = \frac{5d}{v_A(v_A - 5)}$

$\frac{3}{5} = \frac{d}{v_A - 10} - \frac{d}{v_A} = \frac{dv_A - d(v_A - 10)}{v_A(v_A - 10)} = \frac{10d}{v_A(v_A - 10)}$

したがって、

$d = \frac{4v_A(v_A - 5)}{75}$

$d = \frac{3v_A(v_A - 10)}{50}$

これらを等しいとおくと、

$\frac{4v_A(v_A - 5)}{75} = \frac{3v_A(v_A - 10)}{50}$

$200v_A(v_A - 5) = 225v_A(v_A - 10)$

$200(v_A - 5) = 225(v_A - 10)$ （$v_A \ne 0$ より）

$200v_A - 1000 = 225v_A - 2250$

$25v_A = 1250$

$v_A = 50$

$v_C = v_A - 10 = 50 - 10 = 40$

3. 最終的な答え

40 km/h