数列 $\{c_n\}$ において、$c_1 = c_5 = \frac{1}{2}$ であり、数列の中で $\frac{1}{2}$ の値をとる項について考える。自然数 $M$ に対して、第 $M$ 群に値 $\frac{1}{2}$ である項が含まれるための必要十分条件として、$M$ がある条件を満たす。また、数列 $\{c_n\}$ のうち、最初から数えて5回目に現れる $\frac{1}{2}$ である項を $c_l$ とする。数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $l$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{c_n\}$ において、$c_1 = c_5 = \frac{1}{2}$ であり、数列の中で $\frac{1}{2}$ の値をとる項について考える。自然数 $M$ に対して、第 $M$ 群に値 $\frac{1}{2}$ である項が含まれるための必要十分条件として、$M$ がある条件を満たす。また、数列 $\{c_n\}$ のうち、最初から数えて5回目に現れる $\frac{1}{2}$ である項を $c_l$ とする。数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $l$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、$M$ が満たすべき条件を求める。数列 $\{c_n\}$ において、$\frac{1}{2}$ が現れるのは第1項と第5項である。

群数列の考え方から、第 $M$ 群の最初の項は、

$$1 + 2 + \cdots + (M-1) + 1 = \frac{M(M-1)}{2} + 1 = \frac{M^2-M+2}{2}$$

番目の項である。

$\frac{1}{2}$ が現れるのは、$c_1$ と $c_5$。同様に、$c_9, c_{13}, \dots$ も $\frac{1}{2}$ となる。

一般に、$c_{4k+1} = \frac{1}{2}$ となる。（$k=0, 1, 2, \dots$）

第 $M$ 群に $\frac{1}{2}$ が含まれるためには、ある $k$ が存在して、

$$\frac{M^2-M+2}{2} \le 4k+1 \le \frac{M^2+M}{2}$$

が成り立つ必要がある。このことは、$M$ が奇数であれば必ず成り立つ。なぜなら、第 $M$ 群の項数は $M$ 個であり、項番号は $\frac{M^2-M+2}{2}, \frac{M^2-M+2}{2}+1, \dots, \frac{M^2+M}{2}$ となる。この中に、$4k+1$ の形が含まれるかどうか。

$M$ が奇数のとき、$M = 2n-1$ ($n \ge 1$) とおくと、

$$\frac{M(M-1)}{2} + 1 = \frac{(2n-1)(2n-2)}{2} + 1 = (2n-1)(n-1) + 1 = 2n^2 - 3n + 2$$

$$\frac{M(M+1)}{2} = \frac{(2n-1)2n}{2} = (2n-1)n = 2n^2 - n$$

これらの間に $4k+1$ の形の数が存在するかどうか。

$2n^2 - 3n + 2 \le 4k+1 \le 2n^2 - n$

$2n^2 - 3n + 1 \le 4k \le 2n^2 - n - 1$

$M$ が偶数のとき、$M=2n$ ($n \ge 1$) とおくと、

$$\frac{M(M-1)}{2} + 1 = \frac{2n(2n-1)}{2} + 1 = n(2n-1) + 1 = 2n^2 - n + 1$$

$$\frac{M(M+1)}{2} = \frac{2n(2n+1)}{2} = n(2n+1) = 2n^2 + n$$

これらの間に $4k+1$ の形の数が存在するかどうか。

$2n^2 - n + 1 \le 4k+1 \le 2n^2 + n$

$2n^2 - n \le 4k \le 2n^2 + n - 1$

数列 $\{c_n\}$ のうち、5回目に現れる $\frac{1}{2}$ は $c_{17}$ である。

$S = c_1 + c_2 + \cdots + c_{17}$ の和を考える。

$c_1=c_5=c_9=c_{13}=c_{17} = \frac{1}{2}$

数列は群数列であり、第 $k$ 群は $k$ 個の項からなる。

第1群：1個

第2群：2個

第3群：3個

第4群：4個

$1+2+3+4+5+6 = 21 > 17$

$1+2+3+4+5 = 15 < 17$

したがって、$c_{17}$ は第6群に属する。

$17 = 15+2$ なので、第6群の2番目の項である。

それぞれの群の和は、

$S_1 = \frac{1}{2}$

$S_2 = 1$

$S_3 = \frac{3}{2}$

$S_4 = 2$

$S_5 = \frac{5}{2}$

$S_6 = 3$

$c_1+c_2+\dots+c_{17} = S_1+S_2+S_3+S_4+S_5 + (\frac{1}{2} \times 2)= \frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}+1 = \frac{1+2+3+4+5+2}{2} = \frac{17}{2}$

$M$ が奇数であること。

数列 $\{c_n\}$ の、$c_1$ から数えて5回目に現れる、値が $\frac{1}{2}$ である項を $c_l$ とすると、$l=17$。

数列 $\{c_n\}$ の初項から第$l$項までの和は、

$c_1+c_2+\dots+c_{17} = \frac{17}{2}$

3. 最終的な答え

ツ：①

テトナ：17

ニヌ：2