二次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めなさい。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha\beta$ (3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (4) $\alpha^2 + \beta^2$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めなさい。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha\beta$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

この問題の二次方程式は $x^2 + 2x - 4 = 0$ なので、$a = 1$, $b = 2$, $c = -4$ となります。

(1) $\alpha + \beta$ を求めます。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$

(2) $\alpha\beta$ を求めます。

解と係数の関係より、

$\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を求めます。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$

(1), (2)の結果を使うと、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

(1), (2)の結果を使うと、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2(-4) = 4 + 8 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -2$

(2) $\alpha\beta = -4$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{2}$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = 12$