多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $2x-3$ であり、$x+2$ で割ると余りが $11$ である。 (1) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを求めよ。 (2) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $2x-3$ であり、$x+2$ で割ると余りが $11$ である。

(1) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを求めよ。

(2) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを $ax+b$ と置く。

すると、$P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) + ax+b$ と書ける。

ここで、$P(1) = 2(1)-3 = -1$ かつ $P(-2) = 11$ である。

$P(1) = a(1)+b = a+b = -1$

$P(-2) = a(-2)+b = -2a+b = 11$

この連立方程式を解くと、

$a+b = -1$

$-2a+b = 11$

上の式から下の式を引くと、

$3a = -12$

$a = -4$

$b = -1 - a = -1 - (-4) = 3$

したがって、求める余りは $-4x+3$ である。

(2) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割った余りを $ax^2+bx+c$ と置く。

すると、$P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x) + ax^2+bx+c$ と書ける。

ここで、$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $2x-3$ であるから、$ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $2x-3$ である。

したがって、$ax^2+bx+c = a(x-1)^2 + 2x - 3$ となる。

よって、$P(x) = (x-1)^2(x+2)Q(x) + a(x-1)^2 + 2x - 3$ と書ける。

$P(-2) = a(-2-1)^2 + 2(-2) - 3 = 9a - 4 - 3 = 9a - 7 = 11$

$9a = 18$

$a = 2$

したがって、余りは $2(x-1)^2 + 2x - 3 = 2(x^2-2x+1) + 2x - 3 = 2x^2 - 4x + 2 + 2x - 3 = 2x^2 - 2x - 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-4x+3$

(2) $2x^2 - 2x - 1$