(1) $ax^3 + x^2 - x + b$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの余りが $7x - 4$ であるとき、$a$ と $b$ の値と商を求めよ。 (2) $x^3 + ax^2 + 5x + b$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの余りが $12x - 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値と商を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $ax^3 + x^2 - x + b$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの余りが $7x - 4$ であるとき、$a$ と $b$ の値と商を求めよ。

(2) $x^3 + ax^2 + 5x + b$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの余りが $12x - 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値と商を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$ax^3 + x^2 - x + b$ を $x^2 + 2x - 1$ で割る。

商を $ax + c$ とおく。

$ax^3 + x^2 - x + b = (x^2 + 2x - 1)(ax + c) + 7x - 4$

$= ax^3 + 2ax^2 - ax + cx^2 + 2cx - c + 7x - 4$

$= ax^3 + (2a+c)x^2 + (-a+2c+7)x + (-c-4)$

係数を比較すると、

$2a + c = 1$

$-a + 2c + 7 = -1$

$-c - 4 = b$

2番目の式より、$-a + 2c = -8$

$2a + c = 1$ より $c = 1 - 2a$

$-a + 2(1-2a) = -8$

$-a + 2 - 4a = -8$

$-5a = -10$

$a = 2$

$c = 1 - 2a = 1 - 4 = -3$

$b = -c - 4 = -(-3) - 4 = 3 - 4 = -1$

商は $ax + c = 2x - 3$

(2)

$x^3 + ax^2 + 5x + b$ を $x^2 + 2x - 1$ で割る。

商を $x + c$ とおく。

$x^3 + ax^2 + 5x + b = (x^2 + 2x - 1)(x + c) + 12x - 5$

$= x^3 + cx^2 + 2x^2 + 2cx - x - c + 12x - 5$

$= x^3 + (c+2)x^2 + (2c+11)x + (-c-5)$

係数を比較すると、

$a = c + 2$

$5 = 2c + 11$

$b = -c - 5$

$2c + 11 = 5$ より $2c = -6$ なので $c = -3$

$a = c + 2 = -3 + 2 = -1$

$b = -c - 5 = -(-3) - 5 = 3 - 5 = -2$

商は $x + c = x - 3$

3. 最終的な答え

(1)

$a = 2$

$b = -1$

商は $2x - 3$

(2)

$a = -1$

$b = -2$

商は $x - 3$