与えられた多項式 $p(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ が、与えられた一次式 $x-1$, $x+1$, $x-2$, $x+2$ を因数に持つかどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $p(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ が、与えられた一次式 $x-1$, $x+1$, $x-2$, $x+2$ を因数に持つかどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

因数定理を利用します。因数定理とは、多項式 $p(x)$ に対して、$p(a) = 0$ ならば、$x-a$ は $p(x)$ の因数である、というものです。

それぞれの一次式に対して、$p(x)$ に値を代入して計算し、$p(a)=0$ になるかどうかを確認します。

(1) $x-1$ の場合、$x=1$ を代入します。

$p(1) = (1)^3 - (1)^2 - 4(1) + 4 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0$

よって、$x-1$ は $p(x)$ の因数です。

(2) $x+1$ の場合、$x=-1$ を代入します。

$p(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 4 = -1 - 1 + 4 + 4 = 6$

よって、$x+1$ は $p(x)$ の因数ではありません。

(3) $x-2$ の場合、$x=2$ を代入します。

$p(2) = (2)^3 - (2)^2 - 4(2) + 4 = 8 - 4 - 8 + 4 = 0$

よって、$x-2$ は $p(x)$ の因数です。

(4) $x+2$ の場合、$x=-2$ を代入します。

$p(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 - 4 + 8 + 4 = 0$

よって、$x+2$ は $p(x)$ の因数です。

3. 最終的な答え

$p(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ の因数であるものは、$x-1$, $x-2$, $x+2$ です。