80人の学生にアンケートを行ったところ、スポーツ番組が好きな人は60人、クイズ番組が好きな人は40人、ニュース番組が好きな人は70人であった。スポーツ番組、クイズ番組、ニュース番組のいずれも好きな人の人数を $y$ 人とするとき、$y$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

80人の学生にアンケートを行ったところ、スポーツ番組が好きな人は60人、クイズ番組が好きな人は40人、ニュース番組が好きな人は70人であった。スポーツ番組、クイズ番組、ニュース番組のいずれも好きな人の人数を $y$ 人とするとき、$y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、スポーツ番組、クイズ番組、ニュース番組をそれぞれ $S$, $Q$, $N$ と表す。

$|S| = 60$, $|Q| = 40$, $|N| = 70$ であり、全体の人数は80人である。

$|S \cup Q \cup N| = y$ とおく。$y$ の最小値を求めたい。

$|S \cup Q \cup N| \le 80$ である。

また、$|S \cup Q \cup N| = |S| + |Q| + |N| - |S \cap Q| - |Q \cap N| - |N \cap S| + |S \cap Q \cap N|$

$|S \cup Q \cup N|$ は、3つの集合の要素を足し合わせると、重複して数えている部分があるので、それらを引いて、3つすべての集合に属する要素を最後に足し合わせることで求められる。

全体の人数が80人であることから、$|S \cup Q \cup N| \le 80$ であるため、$y \le 80$ である。

$|S \cup Q \cup N|$ が最小となるのは、$S, Q, N$ の重複が最大となるときである。

$|S \cup Q \cup N| = |U| = 80$ となることを考える。

このとき、$|S \cup Q \cup N| = |S| + |Q| + |N| - |S \cap Q| - |Q \cap N| - |N \cap S| + |S \cap Q \cap N| = 80$ である。

$|S| + |Q| + |N| = 60 + 40 + 70 = 170$ なので、

$170 - (|S \cap Q| + |Q \cap N| + |N \cap S|) + |S \cap Q \cap N| = 80$

$|S \cap Q| + |Q \cap N| + |N \cap S| - |S \cap Q \cap N| = 170 - 80 = 90$

$|S \cup Q \cup N| = |S| + |Q| + |N| - |S \cap Q| - |Q \cap N| - |N \cap S| + |S \cap Q \cap N|$

$|S \cup Q \cup N| = |S| + |Q| + |N| - (|S \cap Q| + |Q \cap N| + |N \cap S| - |S \cap Q \cap N|)$

$|S \cup Q \cup N| = 60 + 40 + 70 - 90 = 80$

$|Q \cup N| = |Q| + |N| - |Q \cap N|$

$|Q \cap N| \ge 40 + 70 - 80 = 30$

$|S \cup Q \cup N|$ の最小値を求める。$|S \cup Q \cup N| \ge |N| = 70$ であり、$|S \cup Q| \le 80$

$|S \cup Q| = |S| + |Q| - |S \cap Q| = 60 + 40 - |S \cap Q| = 100 - |S \cap Q|$

$|S \cap Q| \ge 100 - 80 = 20$

$S \cap Q \cap N$ は空集合のとき、最小となる。

$|S \cup Q \cup N| = |S \cup Q| + |N| - |(S \cup Q) \cap N|$

$|(S \cup Q) \cap N| = |(S \cap N) \cup (Q \cap N)| = |S \cap N| + |Q \cap N| - |S \cap Q \cap N|$

$|(S \cup Q) \cap N|$ を最小化すれば、$|S \cup Q \cup N|$ は最大になる。

$|S \cup Q \cup N|$ を最小化するには、$|(S \cup Q) \cap N|$ を最大化すれば良い。

$|S \cap N| + |Q \cap N|$ が大きければ、 $|S \cup Q \cup N|$ は小さくなる。

$|S \cap N| \ge |S| + |N| - 80 = 60 + 70 - 80 = 50$

$|Q \cap N| \ge |Q| + |N| - 80 = 40 + 70 - 80 = 30$

$|S \cap N| + |Q \cap N| \ge 50 + 30 = 80$

$|S \cap Q \cap N|$ が0の場合、 $|S \cup Q \cup N| = |S| + |Q| + |N| - (|S \cap Q| + |Q \cap N| + |N \cap S|) + |S \cap Q \cap N|$

$y$ が最小となる条件は、$S \cup Q \cup N$ ができるだけ小さくなることである。

例えば、$N$ が $S \cup Q$ に含まれる場合、$|S \cup Q \cup N| = |S \cup Q|$ となる。

$|S \cup Q| = |S| + |Q| - |S \cap Q| \le 80$

$|S \cap Q| \ge |S| + |Q| - 80 = 60 + 40 - 80 = 20$

$|(S \cup Q) \cap N| = |N| = 70$ のとき、

$S \cup Q \supset N$ が成り立つ。このとき、 $|S \cup Q \cup N| = |S \cup Q|$ である。

$|S \cup Q| = |S| + |Q| - |S \cap Q| \le 80$

$|S \cap Q| \ge 20$

$S, Q, N$ が互いに素であると、$60 + 40 + 70 = 170 > 80$ であるため、ありえない。

$|S \cup Q| + |N| - |(S \cup Q) \cap N|$

$|S \cup Q \cup N|$ を最小にするためには、$|(S \cup Q) \cap N|$ を大きくする。

$S \cup Q$ と $N$ ができるだけ重なり合うようにする。

$|S \cup Q \cup N| = |S \cup Q| + |N| - |(S \cup Q) \cap N|$

$|N| = 70$ であり、 $S \cup Q$ は最大でも80なので、$|(S \cup Q) \cap N| \le 70$ である。

$|S \cup Q| \ge 70$

$|S \cup Q| = |S| + |Q| - |S \cap Q| \ge 70$

$100 - |S \cap Q| \ge 70$

$|S \cap Q| \le 30$

$y \ge 70$ であることは明らかである。

$|S \cap Q \cap N|$ が0の場合、 $|S \cap Q| + |Q \cap N| + |N \cap S| = 90$

$|S \cup Q \cup N|$ は最低でも70である。

$S \subset N$, $Q \subset N$ であれば、$S \cup Q \cup N = N$ となり、$|N| = 70$ であるが、$S$ と $Q$ は互いに素ではない。

$N \subset S \cup Q$ であれば、$S \cup Q \cup N = S \cup Q$ となり、$|S \cup Q|$ は80以下。

$|S \cup Q| = |S| + |Q| - |S \cap Q|$ で、$60 + 40 - |S \cap Q| \le 80$

$|S \cap Q| \ge 20$

$y \ge 70$ である。

3. 最終的な答え

70人