右の図のように、正三角形OABと扇形OABがあり、正三角形OCDの辺CDは弧ABに接している。OA = 6、$\triangle OAB$の面積を$S_1$、扇形OABの面積を$S_2$、$\triangle OCD$の面積を$S_3$とするとき、面積比$S_1:S_2:S_3$を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

右の図のように、正三角形OABと扇形OABがあり、正三角形OCDの辺CDは弧ABに接している。OA = 6、$\triangle OAB$の面積を$S_1$、扇形OABの面積を$S_2$、$\triangle OCD$の面積を$S_3$とするとき、面積比$S_1:S_2:S_3$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正三角形OABの一辺の長さはOA = 6なので、面積$S_1$は

$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$

次に、扇形OABの面積$S_2$を求める。正三角形OABの中心角は60°なので、扇形の中心角も60°である。

$S_2 = \pi \times 6^2 \times \frac{60}{360} = 6\pi$

次に、$\triangle OCD$の面積$S_3$を求める。

CDは弧ABに接しているので、OCDも正三角形である。

OCの長さを$x$とすると、CDも$x$になる。CDが弧ABに接するので、OからCDまでの距離はCDの中点までの距離に等しい。

正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}x$ であり、これはOからCDまでの距離に等しい。

一方、OからABまでの距離は $6\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ である。

ABとCDの距離は$6-x$ であり、

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}x = 3\sqrt{3}$　より、$\frac{\sqrt{3}}{2}x = 3\sqrt{3}- \frac{\sqrt{3}}{2}(6-x)$

したがって、$\frac{\sqrt{3}}{2}x = 3\sqrt{3} -3 \sqrt{3}+ \frac{\sqrt{3}}{2}x$ これは成り立たない。

図より，正三角形OCDの一辺の長さを$x$とすると、$\triangle OCD$の高さは$\frac{\sqrt{3}}{2}x$になる。

また、$\triangle OAB$の高さは$3\sqrt{3}$である。

CDはABに接しているので、$\triangle OCD$の高さを延長した線は、ABに接している。

したがって、$3\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x$は、三角形の高さの比で考える。

$\frac{x}{6} = \frac{\sqrt{3}x/2}{3\sqrt{3}}$より、$x=6-x$なので、$2x=6$となるから$x=3$

$\triangle OCD$の面積は

$S_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

したがって、$S_1:S_2:S_3 = 9\sqrt{3} : 6\pi : \frac{9\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} : 24\pi : 9\sqrt{3} = 12\sqrt{3} : 8\pi : 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$12\sqrt{3} : 8\pi : 3\sqrt{3}$