全体集合 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \cap B = \{3\}$, $A \cap \overline{B} = \{0, 7, 9\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 6, 8\}$ であるとき、次の集合を求めよ。 (1) $A$ (2) $A \cup B$ (3) $B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \cap B = \{3\}$, $A \cap \overline{B} = \{0, 7, 9\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 6, 8\}$ であるとき、次の集合を求めよ。

(1) $A$

(2) $A \cup B$

(3) $B$

2. 解き方の手順

(1) $A$ を求める。

$A$ は $A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ の和集合であるから、$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$。

$A = \{3\} \cup \{0, 7, 9\} = \{0, 3, 7, 9\}$.

(2) $A \cup B$ を求める。

まず、$U = A \cup \overline{A}$ である。

$A \cup B = U \setminus (\overline{A} \cap \overline{B})$ である。

$U \setminus (\overline{A} \cap \overline{B}) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{2, 6, 8\} = \{0, 1, 3, 4, 5, 7, 9\}$。

したがって、$A \cup B = \{0, 1, 3, 4, 5, 7, 9\}$.

(3) $B$ を求める。

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ である。

$\overline{A} = U \setminus A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{0, 3, 7, 9\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 8\}$.

$\overline{B} = U \setminus B$ である。また、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 6, 8\}$ なので、$\overline{A} \setminus \overline{B} = \{1, 4, 5\}$。

したがって、$\overline{A} \cap B = \overline{A} \setminus \overline{B} = \{1, 4, 5\}$.

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{3\} \cup \{1, 4, 5\} = \{1, 3, 4, 5\}$.

3. 最終的な答え

(1) $A = \{0, 3, 7, 9\}$

(2) $A \cup B = \{0, 1, 3, 4, 5, 7, 9\}$

(3) $B = \{1, 3, 4, 5\}$