全体集合 $U$ は実数全体の集合である。 3つの集合 $A$, $B$, $C$ が以下のように定義されている。 $A = \{x | -1 \le x < 5 \}$ $B = \{x | -3 < x \le 4 \}$ $C = \overline{A \cup B}$ このとき、以下の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cap C$ (3) $A \cup \overline{C}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ は実数全体の集合である。

3つの集合 $A$, $B$, $C$ が以下のように定義されている。

$A = \{x | -1 \le x < 5 \}$

$B = \{x | -3 < x \le 4 \}$

$C = \overline{A \cup B}$

このとき、以下の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cap C$

(3) $A \cup \overline{C}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分である。

$A = \{x | -1 \le x < 5 \}$

$B = \{x | -3 < x \le 4 \}$

であるから、$A \cap B = \{x | -1 \le x \le 4 \}$

(2) $A \cap C$ を求める。

まず、$A \cup B$ を求める。

$A \cup B = \{x | -3 < x < 5 \}$

次に、$C = \overline{A \cup B}$ を求める。

$C = \{x | x \le -3 \text{ or } x \ge 5 \}$

$A \cap C$ は、集合 $A$ と集合 $C$ の共通部分である。

$A = \{x | -1 \le x < 5 \}$

$C = \{x | x \le -3 \text{ or } x \ge 5 \}$

であるから、$A \cap C = \emptyset$

(3) $A \cup \overline{C}$ を求める。

$\overline{C} = \overline{\overline{A \cup B}} = A \cup B$

$A \cup \overline{C} = A \cup (A \cup B) = A \cup B$

$A = \{x | -1 \le x < 5 \}$

$B = \{x | -3 < x \le 4 \}$

$A \cup B = \{x | -3 < x < 5 \}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | -1 \le x \le 4 \}$

(2) $A \cap C = \emptyset$

(3) $A \cup \overline{C} = \{x | -3 < x < 5 \}$