点A (2, -4) を通る直線 l, m, n の位置関係に関する問題です。直線 l の傾きは -1/2, 直線 m の傾きは a, 直線 n の式は $y = \frac{3}{2}x + b$ で与えられます。a と b の値によって直線 l, m, n の位置関係がどのように変化するかを答えます。

1. 問題の内容

点A (2, -4) を通る直線 l, m, n の位置関係に関する問題です。直線 l の傾きは -1/2, 直線 m の傾きは a, 直線 n の式は $y = \frac{3}{2}x + b$ で与えられます。a と b の値によって直線 l, m, n の位置関係がどのように変化するかを答えます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 l と直線 m が重なる時、傾きは等しいので $a = -\frac{1}{2}$.

(2) 直線 m と直線 n が平行なとき、傾きは等しく、y切片は異なる。つまり $a = \frac{3}{2}$ かつ $b \neq -7$. なぜなら、直線 m は点 A (2, -4) を通るので $y = \frac{3}{2}x + b'$ とおくと $-4 = \frac{3}{2}(2) + b'$ より $b' = -7$ となる。

(3) 3直線 l, m, n が1点で交わる時、まず l, m の交点を求める。

l の式は $y = -\frac{1}{2}x + b_1$ で A (2, -4) を通るので $-4 = -\frac{1}{2}(2) + b_1$, $b_1 = -3$. よって $y = -\frac{1}{2}x - 3$.

m の式は $y = ax + b_2$ で A (2, -4) を通るので $-4 = 2a + b_2$, $b_2 = -4 - 2a$. よって $y = ax - 4 - 2a$.

l, m の交点を求めると $-\frac{1}{2}x - 3 = ax - 4 - 2a$. $(a + \frac{1}{2})x = 1 + 2a$. $x = \frac{1 + 2a}{a + \frac{1}{2}} = 2$. これは l, m が平行でない限り成り立つので、 $a \neq -\frac{1}{2}$ となる。

$y = -\frac{1}{2}(2) - 3 = -4$. よって交点は (2, -4) = A となる。

n の式は $y = \frac{3}{2}x + b$ であり、この点を通るので $-4 = \frac{3}{2}(2) + b$, $b = -7$.

したがって、条件は $a \neq \frac{3}{2}$ かつ $a \neq -\frac{1}{2}$ であり、$b = -7$.

(4) 直線 m と直線 n が重なる時、傾きと切片が等しくなければならないので、$a = \frac{3}{2}$ であり、直線 m は点 A (2, -4) を通るので $y = \frac{3}{2}x + b'$ とおくと $-4 = \frac{3}{2}(2) + b'$ より $b' = -7$. 一方、n の式は $y = \frac{3}{2}x + b$ であるから、$b = -7$.

3. 最終的な答え

- a = -1/2 のとき、直線lと直線mはぴったり重なる。

- a = 3/2, b ≠ -7 のとき、直線mと直線nは平行になる。

- a ≠ -1/2, a ≠ 3/2, b = -7 のとき、3直線l, m, nは1点で交わる。

- a = 3/2, b = -7 のとき、直線mと直線nはぴったり重なる。