3直線 $l$, $m$, $n$ の位置関係について、空欄にあてはまる数を答える問題です。直線 $l$ は点A$(2, -4)$を通り、傾きが $a$ の直線、直線 $m$ は点Aを通り、傾きが $-a$ の直線、直線 $n$ は $y = \frac{3}{2}x + b$ で表される直線です。

1. 問題の内容

3直線 $l$, $m$, $n$ の位置関係について、空欄にあてはまる数を答える問題です。直線 $l$ は点A$(2, -4)$を通り、傾きが $a$ の直線、直線 $m$ は点Aを通り、傾きが $-a$ の直線、直線 $n$ は $y = \frac{3}{2}x + b$ で表される直線です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から各直線の式を求めます。

- 直線 $l$ は点$(2, -4)$を通り傾きが $a$ なので、$y = a(x - 2) - 4$、すなわち $y = ax - 2a - 4$

- 直線 $m$ は点$(2, -4)$を通り傾きが $-a$ なので、$y = -a(x - 2) - 4$、すなわち $y = -ax + 2a - 4$

- 直線 $n$ は $y = \frac{3}{2}x + b$

(1)

- $a = -\frac{1}{2}$ のとき、直線 $l$ と直線 $m$ はぴったり重なる（図2）。直線 $l$ と $m$ の式が同じになるので、$-a = a$より、$a = 0$が必要であり、$a = -\frac{1}{2}$とは矛盾します。そのため、この条件は成立しません。しかし、解答欄を埋める必要があるため、最も可能性の高いものを探します。図2からすると、直線$l$と直線$m$が重なっています。このとき、$a = -a$となるため、$a = 0$になります。しかし、$a = -\frac{1}{2}$と与えられているので、これは矛盾します。

- $a =$ あ、 $b =$ い のとき、直線 $m$ と直線 $n$ は平行になる（図3）。

直線 $m$ と直線 $n$ の傾きが等しい時、平行になるので $-a = \frac{3}{2}$。つまり $a = -\frac{3}{2}$。

直線$n$の$y$切片は$b$、直線$m$の$y$切片は$2a-4 = 2(-\frac{3}{2})-4 = -3-4 = -7$。

$b \neq -7$なので、直線$m$と直線$n$は平行。$a = -\frac{3}{2}$

- $a \neq -\frac{1}{2}$、$a \neq$ あ、$b =$ い のとき、3直線 $l$, $m$, $n$ は1点で交わる（図4）。

3直線が1点で交わるには、直線$n$と直線$l$と直線$m$の交点が一致する必要があります。

直線$l$と直線$m$の交点は、傾きが異なるときに必ず$x=2, y=-4$となります。

直線$n$が$(2,-4)$を通るには、$-4 = \frac{3}{2}(2) + b$、$b=-7$。

また、$a \neq -\frac{3}{2}$のときのみ、3直線は1点で交わります。

- $a =$ あ、$b =$ い のとき、直線 $m$ と直線 $n$ はぴったり重なる（図5）。

直線 $m$ と直線 $n$ が同じ直線になるには、$y = -ax + 2a - 4 = \frac{3}{2}x + b$である必要があります。

したがって、$-a = \frac{3}{2}$、$2a - 4 = b$。 $a = -\frac{3}{2}$、$b = 2(-\frac{3}{2}) - 4 = -3 - 4 = -7$

2. 最終的な答え

あ: $-\frac{3}{2}$

い: $-7$