問題190について、以下の2つの問題を解く。 (1) $\theta$が第3象限の角で、$\sin \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。 (2) $\theta$が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

1. 問題の内容

問題190について、以下の2つの問題を解く。

(1) $\theta$が第3象限の角で、$\sin \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

(2) $\theta$が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

第3象限において、$\cos \theta < 0$、$\tan \theta > 0$である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$

第3象限では$\cos \theta < 0$であるから、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

(2)

第4象限において、$\sin \theta < 0$、$\tan \theta < 0$である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

第4象限では$\sin \theta < 0$であるから、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = -\frac{4}{5}$, $\tan \theta = \frac{3}{4}$

(2) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$