座標平面上に2点A(0, 3), B(2, -1)を直径の両端とする円Cがある。 (1) 円Cの方程式を求めよ。 (2) 円Cの中心をDとする。また、点Aにおける円Cの接線をlとし、lとx軸との交点をEとする。このとき、△AEDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(0, 3), B(2, -1)を直径の両端とする円Cがある。

(1) 円Cの方程式を求めよ。

(2) 円Cの中心をDとする。また、点Aにおける円Cの接線をlとし、lとx軸との交点をEとする。このとき、△AEDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの方程式を求める。

円Cの中心Dは、線分ABの中点であるから、Dの座標は $((0+2)/2, (3+(-1))/2) = (1, 1)$である。

円Cの半径rは、線分ADの長さであるから、

$r = \sqrt{(1-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

したがって、円Cの方程式は $(x-1)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{5})^2$ より、

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$

(2) △AEDの面積を求める。

点Aにおける円Cの接線lの方程式を求める。

直線ADの傾きは、$\frac{1-3}{1-0} = \frac{-2}{1} = -2$

接線lは直線ADと直交するので、接線lの傾きは $\frac{1}{2}$

よって、接線lの方程式は、 $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 0)$ より、 $y = \frac{1}{2}x + 3$

接線lとx軸との交点Eは、y=0のときであるから、

$0 = \frac{1}{2}x + 3$ より、 $x = -6$

したがって、Eの座標は (-6, 0) である。

A(0, 3), E(-6, 0), D(1, 1) であるから、

△AEDの面積は、 $\frac{1}{2} |(0(0-1) + (-6)(1-3) + 1(3-0))| = \frac{1}{2} |0 + 12 + 3| = \frac{1}{2} |15| = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 円Cの方程式: $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$

(2) △AEDの面積: $\frac{15}{2}$