与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 8$ (2) $x^3 - 27$ (3) $8x^3 + 125y^3$ (4) $27a^3 - 64b^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 8$

(2) $x^3 - 27$

(3) $8x^3 + 125y^3$

(4) $27a^3 - 64b^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、すべて和または差の立方であることに注目します。

(1) $x^3 + 8$ は $x^3 + 2^3$ と見なせます。和の立方の公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を用いて因数分解します。

(2) $x^3 - 27$ は $x^3 - 3^3$ と見なせます。差の立方の公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用いて因数分解します。

(3) $8x^3 + 125y^3$ は $(2x)^3 + (5y)^3$ と見なせます。和の立方の公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を用いて因数分解します。

(4) $27a^3 - 64b^3$ は $(3a)^3 - (4b)^3$ と見なせます。差の立方の公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用いて因数分解します。

(1) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$

(3) $8x^3 + 125y^3 = (2x)^3 + (5y)^3 = (2x+5y)((2x)^2 - (2x)(5y) + (5y)^2) = (2x+5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)$

(4) $27a^3 - 64b^3 = (3a)^3 - (4b)^3 = (3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) = (3a-4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$

(3) $(2x+5y)(4x^2 - 10xy + 25y^2)$

(4) $(3a-4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$