## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。

(1) $81x^4 - 18x^2 + 1$

(2) $4x^4 - 13x^2 + 9$

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2. 解き方の手順

### (1) $81x^4 - 18x^2 + 1$

この式は、平方の公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ を用いて因数分解できます。

$81x^4 - 18x^2 + 1 = (9x^2)^2 - 2 \cdot 9x^2 \cdot 1 + 1^2$

$= (9x^2 - 1)^2$

さらに、$9x^2 - 1$ は $(3x)^2 - 1^2$ と書けるので、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、

$9x^2 - 1 = (3x + 1)(3x - 1)$

したがって、

$(9x^2 - 1)^2 = [(3x+1)(3x-1)]^2 = (3x+1)^2(3x-1)^2$

### (2) $4x^4 - 13x^2 + 9$

$x^2 = y$ と置き換えると、式は $4y^2 - 13y + 9$ となります。

これは二次式なので、因数分解できます。

$4y^2 - 13y + 9 = (4y - 9)(y - 1)$

$y$ を $x^2$ に戻すと、

$4x^4 - 13x^2 + 9 = (4x^2 - 9)(x^2 - 1)$

さらに、$4x^2 - 9$ は $(2x)^2 - 3^2$ と書けるので、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、

$4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)$

同様に、$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$

したがって、

$4x^4 - 13x^2 + 9 = (2x + 3)(2x - 3)(x + 1)(x - 1)$

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3. 最終的な答え

(1) $(3x+1)^2(3x-1)^2$

(2) $(2x + 3)(2x - 3)(x + 1)(x - 1)$