数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + n^2 + 2n$ で定義されている。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義すると、$\{b_n\}$ は漸化式 $b_{n+1} = 3b_n + 2n + 3$ を満たす。また、数列 $\{c_n\}$ を $c_n = b_{n+1} - b_n$ と定義すると、$\{c_n\}$ は漸化式 $c_{n+1} = 3c_n +$ (2) を満たす。$b_1$, $c_1$, $c_n$, $b_n$, $a_n$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + n^2 + 2n$ で定義されている。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義すると、$\{b_n\}$ は漸化式 $b_{n+1} = 3b_n + 2n + 3$ を満たす。また、数列 $\{c_n\}$ を $c_n = b_{n+1} - b_n$ と定義すると、$\{c_n\}$ は漸化式 $c_{n+1} = 3c_n +$ (2) を満たす。$b_1$, $c_1$, $c_n$, $b_n$, $a_n$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_1$ を求める。$b_n = a_{n+1} - a_n$ より $b_1 = a_2 - a_1$ である。

$a_2 = 3a_1 + 1^2 + 2(1) = 3(3) + 1 + 2 = 9+1+2 = 12$ なので、$b_1 = a_2 - a_1 = 12 - 3 = 9$

(2) $c_{n+1} = 3c_n +$ (2) の (2) を求める。

$c_n = b_{n+1} - b_n$ より、

$c_{n+1} = b_{n+2} - b_{n+1}$

$b_{n+1} = 3b_n + 2n + 3$ より、$b_{n+2} = 3b_{n+1} + 2(n+1) + 3 = 3b_{n+1} + 2n + 5$

$c_{n+1} = b_{n+2} - b_{n+1} = (3b_{n+1} + 2n + 5) - b_{n+1} = 2b_{n+1} + 2n + 5$

$c_n = b_{n+1} - b_n$ より、$b_{n+1} = c_n + b_n$

$c_{n+1} = 2(c_n + b_n) + 2n + 5$

また、$c_n = b_{n+1} - b_n$ より、$c_{n+1} = b_{n+2} - b_{n+1} = (3b_{n+1} + 2n + 5) - b_{n+1} = 2b_{n+1} + 2n + 5$

$c_{n+1} - 3c_n = (b_{n+2} - b_{n+1}) - 3(b_{n+1} - b_n) = b_{n+2} - 4b_{n+1} + 3b_n$

$b_{n+2} = 3b_{n+1} + 2(n+1) + 3 = 3b_{n+1} + 2n + 5$ なので

$c_{n+1} - 3c_n = (3b_{n+1} + 2n + 5) - 4b_{n+1} + 3b_n = -b_{n+1} + 3b_n + 2n + 5 = -(3b_n + 2n + 3) + 3b_n + 2n + 5 = 2$

よって、$c_{n+1} = 3c_n + 2$

(3) $c_1$ を求める。$c_n = b_{n+1} - b_n$ より $c_1 = b_2 - b_1$

$b_1 = 9$ であり、$b_2 = 3b_1 + 2(1) + 3 = 3(9) + 2 + 3 = 27 + 5 = 32$

$c_1 = b_2 - b_1 = 32 - 9 = 23$

(4) $c_n$ を求める。漸化式 $c_{n+1} = 3c_n + 2$ より

$c_{n+1} + 1 = 3(c_n + 1)$

$d_n = c_n + 1$ とおくと $d_{n+1} = 3d_n$ となるので、$\{d_n\}$ は公比 3 の等比数列である。

$d_1 = c_1 + 1 = 23 + 1 = 24$ より $d_n = 24 \cdot 3^{n-1} = 8 \cdot 3^n$

$c_n = d_n - 1 = 8 \cdot 3^n - 1$

(5) $b_n$ を求める。$c_n = b_{n+1} - b_n$ より $b_{n+1} = b_n + c_n$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 9 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^k - 1) = 9 + 8 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

$b_n = 9 + 8 \cdot \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1) - (n-1) = 9 + 12(3^{n-1} - 1) - n + 1 = 9 + 12 \cdot 3^{n-1} - 12 - n + 1 = 12 \cdot 3^{n-1} - n - 2 = 4 \cdot 3^n - n - 2$

(6) $a_n$ を求める。$b_n = a_{n+1} - a_n$ より $a_{n+1} = a_n + b_n$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 \cdot 3^k - k - 2) = 3 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k - \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2 = 2(n-1)$

$a_n = 3 + 4 \cdot \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1) - \frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 3 + 6(3^{n-1} - 1) - \frac{n^2 - n}{2} - 2n + 2 = 3 + 6 \cdot 3^{n-1} - 6 - \frac{n^2 - n}{2} - 2n + 2 = 2 \cdot 3^n - 1 - \frac{n^2 - n}{2} - 2n = 2 \cdot 3^n - 1 - \frac{n^2 - n + 4n}{2} = 2 \cdot 3^n - 1 - \frac{n^2 + 3n}{2} = 2 \cdot 3^n - \frac{n^2+3n+2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 2

(3) 23

(4) $8 \cdot 3^n - 1$

(5) $4 \cdot 3^n - n - 2$

(6) $2 \cdot 3^n - \frac{n^2+3n+2}{2}$