不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x+3) > -2$ の解を求め、 $a < x < b$ の形で表す。

1. 問題の内容

不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x+3) > -2$ の解を求め、 $a < x < b$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件から、$x+3 > 0$、つまり $x > -3$ である必要があります。

次に、不等式を変形します。底が $\frac{1}{2}$ なので、大小関係が逆転することに注意します。

$-2$ を底が $\frac{1}{2}$ の対数で表すと、

$-2 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{\frac{1}{2}} 4$ となります。

したがって、不等式は

$\log_{\frac{1}{2}}(x+3) > \log_{\frac{1}{2}} 4$

となります。

底が1より小さいので、真数の大小関係は逆転し、

$x+3 < 4$

$x < 1$

となります。

真数条件 $x>-3$ と $x<1$ を合わせると、$-3 < x < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 < x < 1$