次の不等式の解を求めなさい。 $2 \log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} (2x + 3)$

1. 問題の内容

次の不等式の解を求めなさい。

$2 \log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} (2x + 3)$

2. 解き方の手順

まず、対数関数が定義されるための条件を考慮します。

$x > 0$ かつ $2x+3 > 0$ である必要があります。

$x>0$ であり、$2x+3 > 0$ より $x > -\frac{3}{2}$ です。

したがって、$x > 0$ が必要です。

次に、不等式を変形します。

$2 \log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} (2x + 3)$

$\log_{\frac{1}{3}} x^2 < \log_{\frac{1}{3}} (2x + 3)$

底が $\frac{1}{3}$ であり、$0 < \frac{1}{3} < 1$ なので、対数の大小関係と真数の大小関係は逆になります。

$x^2 > 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

$(x - 3)(x + 1) > 0$

よって、$x < -1$ または $x > 3$ です。

対数関数が定義されるための条件 $x > 0$ と、不等式から得られた条件 $x < -1$ または $x > 3$ を合わせると、$x > 3$ となります。

3. 最終的な答え

$3 < x$