$x$ の2次方程式 $x^2 - 8x + k = 0$ について、以下の問いに答えます。ただし、$k$ は正の定数です。 (1) この2次方程式が異なる2つの実数解をもつとき、$k$ の値の範囲を求めます。 (2) この2次方程式が整数の解をもつような正の数 $k$ は何個あるか、またその中で最も大きい $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 - 8x + k = 0$ について、以下の問いに答えます。ただし、$k$ は正の定数です。

(1) この2次方程式が異なる2つの実数解をもつとき、$k$ の値の範囲を求めます。

(2) この2次方程式が整数の解をもつような正の数 $k$ は何個あるか、またその中で最も大きい $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

判別式 $D = (-8)^2 - 4(1)(k) = 64 - 4k$

$64 - 4k > 0$

$4k < 64$

$k < 16$

$k$ は正の定数であるから、$0 < k < 16$。

(2) 2次方程式の解は、解の公式より

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(k)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4k}}{2} = 4 \pm \frac{\sqrt{64 - 4k}}{2} = 4 \pm \sqrt{16 - k}$

解が整数であるためには、$16 - k$ が平方数である必要があります。

$16 - k = n^2$ (ただし、$n$ は整数) とおくと、$k = 16 - n^2$ となります。

$k$ は正の数なので、$16 - n^2 > 0$、つまり $n^2 < 16$。

したがって、$n$ は $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ のいずれかです。

$k = 16 - n^2$ なので、$n=0, \pm1, \pm2, \pm3$ に対して、

$n = 0$ のとき $k = 16$

$n = \pm 1$ のとき $k = 15$

$n = \pm 2$ のとき $k = 12$

$n = \pm 3$ のとき $k = 7$

$x = 4 \pm n$ なので、$x$ は整数です。

よって、$k$ の値は $7, 12, 15$ の3個です。

最も大きい $k$ の値は $15$ です。

3. 最終的な答え

サシ: 16

ス: 3

セソ: 15