関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 3a^2 + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値を $M(a)$ とする。放物線 $C$ が $f(x)$ のグラフであるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 放物線 $C$ の頂点の座標を求めよ。 (2) 放物線 $C$ の軸の方程式を求めよ。 (3) $a < 0$ のとき、$M(a)$ を求めよ。 (4) $a \ge 0$ のとき、$M(a)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 3a^2 + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値を $M(a)$ とする。放物線 $C$ が $f(x)$ のグラフであるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 放物線 $C$ の頂点の座標を求めよ。

(2) 放物線 $C$ の軸の方程式を求めよ。

(3) $a < 0$ のとき、$M(a)$ を求めよ。

(4) $a \ge 0$ のとき、$M(a)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = 2(x^2 - 2ax) + 3a^2 + 1 = 2(x^2 - 2ax + a^2) - 2a^2 + 3a^2 + 1 = 2(x - a)^2 + a^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(a, a^2 + 1)$ である。

(2) 軸の方程式は $x = a$ である。

(3) $a < 0$ のとき、$-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値は、定義域の右端 $x=1$ でとる。

$M(a) = f(1) = 2(1)^2 - 4a(1) + 3a^2 + 1 = 2 - 4a + 3a^2 + 1 = 3a^2 - 4a + 3$

(4) $a \ge 0$ のとき、

(i) $0 \le a \le 1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値は、定義域の左端 $x=-1$ でとる。

$M(a) = f(-1) = 2(-1)^2 - 4a(-1) + 3a^2 + 1 = 2 + 4a + 3a^2 + 1 = 3a^2 + 4a + 3$

(ii) $a > 1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値は、定義域の左端 $x=-1$ でとる。

$M(a) = f(-1) = 2(-1)^2 - 4a(-1) + 3a^2 + 1 = 2 + 4a + 3a^2 + 1 = 3a^2 + 4a + 3$

したがって、$a \ge 0$ のとき、

$M(a) = 3a^2 + 4a + 3$

3. 最終的な答え

ア: $(a, a^2+1)$

イ: $a$

ウ: $-4$

エ: $3$

オ: $4$

カ: $3$