ユカさんとミカさんがそれぞれA地点、B地点から向かい合って同時に出発し、15分後にC地点で初めて出会いました。その後、2人はそれぞれの出発点まで進み、引き返して進んだところD地点で再び出会いました。C地点とD地点の間の距離は600mで、ユカさんとミカさんの進む速さの比は4:3です。A地点とB地点の間の距離を求めます。

1. 問題の内容

ユカさんとミカさんがそれぞれA地点、B地点から向かい合って同時に出発し、15分後にC地点で初めて出会いました。その後、2人はそれぞれの出発点まで進み、引き返して進んだところD地点で再び出会いました。C地点とD地点の間の距離は600mで、ユカさんとミカさんの進む速さの比は4:3です。A地点とB地点の間の距離を求めます。

2. 解き方の手順

まず、最初に出会うまでに2人が進んだ距離の合計はAB間の距離です。

次に、2回目に出会うまでに2人が進んだ距離の合計は、AB間の距離の3倍になります。これは、2人がAB間をそれぞれ往復し、さらに出会うまで進むからです。

最初の出会いから2回目の出会いまでに、2人が進んだ距離の合計はAB間の距離の2倍です。

この間に、ユカさんはAからBへ行き、さらにBからDへ進んでいます。ミカさんはBからAへ行き、さらにAからDへ進んでいます。

ユカさんとミカさんの速さの比は4:3なので、ある時間内に進む距離の比も4:3になります。

C地点とD地点の間の距離が600mであることから、ユカさんとミカさんがそれぞれCD間を何回通過したかを考えます。

ユカさんがC地点からD地点へ向かい、D地点で2度目の出会いをしているため、ユカさんはCからDへ進んでいます。

ミカさんはC地点からD地点へ向かい、D地点で2度目の出会いをしているため、ミカさんはCからDへ進んでいます。

最初の出会いから2回目の出会いまでに、ユカさんが進んだ距離を$4x$、ミカさんが進んだ距離を$3x$とすると、

$4x + 3x = 2 \times AB$ となります。

よって、$7x = 2 \times AB$ となります。

ここで、$AC + CB = AB$ と置き、$CD = 600$と置きます。

最初の出会いから2回目の出会いまでにユカさんが進んだ距離は、$CB + BD$ となります。

これは、$CB + (CB - CD)$、すなわち、$2CB - 600$ となります。

最初の出会いから2回目の出会いまでにミカさんが進んだ距離は、$AC + AD$ となります。

これは、$AC + (AC - CD)$、すなわち、$2AC - 600$ となります。

したがって、$\frac{2CB - 600}{2AC - 600} = \frac{4}{3}$ となります。

これを解くと、$3(2CB - 600) = 4(2AC - 600)$

$6CB - 1800 = 8AC - 2400$

$6CB = 8AC - 600$

$3CB = 4AC - 300$

また、最初の出会いまでに進んだ距離の比は、AC:BC = 4:3 であるため、$3AC = 4BC$という関係が成り立ちます。

これと$3CB = 4AC - 300$から、$3CB = 3AC - 300$が導き出されます。$3AC=4CB$なので、$3CB=4CB-300$、したがって$CB=300$となります。

$AC:BC = 4:3$なので、$AC = \frac{4}{3} CB = \frac{4}{3} \times 300 = 400$となります。

$AB = AC + CB = 400 + 300 = 700$ となります。

3. 最終的な答え

700 m